MT218交点个数

Posted 2021-01-08 青春的记忆

若函数$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$有极值点$x_1,x_2$,且$f(x_1)=x_1$,则关于$x$的方程$3(f(x))^2+2af(x)+b=0$的不同实数根个数为_____

若函数$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$有极值点$x_1,x_2$,且$f(x_1)=x_1$,则关于$x$的方程$3(f(x))^2+2af(x)+b=0$的不同实数根个数为_____

注意到$f^{\'}(f(x))=0$,即$f(x)=x_1\\vee f(x)=x_2 $,故只需考虑$y=f(x)$的图像与$y=x_1$和$y=x_2$的交点个数.由已知条件$f(x_1)=x_1$，不论$x_1<x_2$还是$x_2<x_1$由图像可得有三个交点.

注:一般这类题是“画两张图”法可以轻松解决，但此题画不了第一张图，这算是"画两张图"的反例了。