网络流--最大流问题

Posted 2022-06-20 -citywall123

一、什么是最大流问题

　　简单来说，就是在有向网络图中，单位时间内，从开始点到结束点能通过的最大流量

　　许多应用都包含了流量问题，例如，公路系统中有车辆流，控制系统中有信息流，供水系统中有水流，金融系统中有现金流等等

 

二、简单概念

1、源点：出发点。

2、汇点：结束点。

3、流：就是一条可以从源点到汇点的一条合法路径。

4、容量：每条边都有一个容量(水管的最大水流容量)

5、流量：就是一条可以从源点到汇点的一条合法路径能通过的最大数量，大小取决于这条路径上的最小容量

6、增广路：也就是流，一条可以从源点到汇点的一条合法路径

7、残量：就是剩余容量，对于一条边来说，残量=容量-流量

 

三、求最大流的过程

 

下图是一个交通运输网络，有1到6共6个结点，两个结点间的数字代表它们之间的最大运输能力，求结点1到结点6在单位时间内的最大运输能力（流量）？

 

可以看到结点1到结点6之间有多条路径，而所有路径的最大流量之和正是所要求的最大流量，问题转化为求每条路径的最大流量，以路径：1-3-5-6为例，结点间的运输流量分别是10、14、21，容易想到10是这条路径的瓶颈，所以1-3-5-6的最大运行能力是10。同时也意味着，当1-3之间达到运输瓶颈10时，1-3这条路就不再具备运输能力了（就可以把1-3条路从图中去掉了，同时也要把3-5-6路径上的运输能力减掉10，因为已经被我们找到的第一条路径给占用了10，这样就有了下图），记录下第一条路径的最大流量10。

 

下面继续找一条路径：1-2-5-6，它的剩余最大流量是6。按照上面的方法去掉1-2，并把2-5-6的运输能力减6，就有了下图：

 

接下来是：1-4-6，它的剩余最大流量是5。

 

接下来是：1-4-3-5-6，它的剩余最大流量是1。

 

接下来是：1-4-2-5-6，它的剩余最大流量是1。

 

至此结点1到6之间已经没有通路了，把各个路径的最大流量和加起来即是所求：10+6+5+1+1=23

以上转载自：https://www.jianshu.com/p/e4548c5c381e

 

 

反向边的概念

　　当bfs找到的路径不是最优解的时候，我们需要一个反悔机制，返回原来状态去选择另一种合法路径，所以用反向边的概念来解决这个问题。

即每条边(i,j)都有一条反向边(j,i)，反向边也同样有它的容量及流量，且初始的流量值就是为正向边的容量。

 

详细解释：https://blog.csdn.net/Patrickpwq/article/details/80210847

                                                                              

四、代码实现（EK算法）

时间复杂度：O（n*m²）,m是边数，n是顶点数量

注意：在读入边的时候，要注意重边的情况，要用加法存边

int flow[205][205],cap[205][205];//flow当前流量，cap总容量
int f[205],vis[205];//f[i]最小残量=cap-flow,vis[i]标记i节点的上一个最小残量所在的位置
int mx_flow;//最大流量，所有增广路最小残量之和
void bfs(int n)

    queue<int>p;
    mx_flow=0;
    int flag=0;
    memset(flow,0,sizeof(flow));
    while(flag==0)
    
        memset(f,0,sizeof(f));
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        f[1]=mx,vis[1]=-1;//初始化源点
        p.push(1);
        while(!p.empty())//bfs找增广路
        
            int now=p.front();
            p.pop();
            for(int i=1;i<=n;i++)
            
                if(!f[i]&&flow[now][i]<cap[now][i])
                
                    f[i]=min(f[now],cap[now][i]-flow[now][i]);//取最小残量
                    vis[i]=now;
                    p.push(i);
                
            
        
        if(f[n]==0)//容量-流量==0，一条增广路寻找结束
            flag=1;
        mx_flow+=f[n];
        int pos=n;//从汇点开始更新流量
        while(!flag&&pos!=1)
        
            flow[vis[pos]][pos]+=f[n];//正向更新流量
            flow[pos][vis[pos]]-=f[n];//反向更新流量
            pos=vis[pos];
        
    

 

 

 模板题：https://www.cnblogs.com/-citywall123/p/11322765.html