背包问题

Posted 2022-06-18 toria

• 0-1背包问题  ：每个物品只有1件
• 完全背包问题：每个物品有无数件
• 多重背包问题：每个物品有不超过多少件的限制
• 混合背包问题：物品有的是1件，有的无数件，有的不超过多少件

1、0-1背包问题

题目描述：

　　有N件物品和一个容量是bagV的背包，每件物品只能使用一次。第 i件物品的体积是 v[i]，价值是 w[i]。
　　求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。输出最大价值。

思路：

对于每一个物品，有两种结果：能装下或者不能装下。

• 如果不能装下，这时的最大价值和前i-1个物品的最大价值是一样的；
• 如果能装下，装了不一定大于当前相同体积的最优价值，所以要对装该商品与不装该商品得到的最大价值进行比较，取最大的那个。

设f[i][j]表示：背包容量为j时，前i个物品所能达到的最大价值。0<=j<=V
第i个商品体积为vi，价值为wi，则状态转移方程：

• j<vi， f[i][j] = f[i-1][j]     //背包装不下此物品，最大价值不变，还是为前i-1的最大价值
• j>=vi，f[i][j] = maxf[i-1][j],f[i-1][j-vi]+wi    // 背包装得下，最大价值取装与不装该物品时同样达到该体积的最大价值

    /**
     * 利用二维数组
     * @param N  N个物品
     * @param bagV  背包体积为bagV
     * @param v  物品体积（v[i]表示第i个物品体积，v[0]=0）
     * @param w  物品价值（w[i]表示第i个物品价值，w[0]=0）
     */
    public static int bag0_1(int N, int bagV, int[] v, int[] w) 
        
        //f[i][j]表示背包容量为j时前i个商品的最大价值
        int[][] f = new int[N+1][bagV+1];
        for(int i = 1; i <= N; i++) 
            for(int j = 0; j <= bagV; j++) 
                if(j < v[i])
                    f[i][j] = f[i-1][j];
                else
                    f[i][j] = Math.max(f[i-1][j], f[i-1][j-v[i]]+w[i]);
            
        
        return f[N][bagV];
    

View Code

用一维数组的话，设f[j]表示背包容量为j时的最大价值，状态转移方程：f[j] = max[f[j]，f[j-vi]+wi

    /**
     * 利用一维数组实现
     * @param N  N个物品
     * @param bagV  背包体积为bagV
     * @param v  物品体积（v[i]表示第i个物品体积，v[0]=0）
     * @param w  物品价值（w[i]表示第i个物品价值，w[0]=0）
     */
    public static int bag0_1(int N, int bagV, int[] v, int[] w) 
        //f[j]表示背包体积为j时最大价值
        int[] f = new int[bagV + 1];
        for(int i = 1; i <= N; i++) 
            for(int j = bagV; j >= v[i]; j--)
                f[j] = Math.max(f[j], f[j-v[i]]+w[i]);
        
        return f[bagV];
    

2、完全背包问题

 题目描述：

　　有 N 种物品和一个容量是 bagV 的背包，每种物品都有无限件可用。第 i 种物品的体积是 vi，价值是 wi。

　　求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。输出最大价值。

思路：

设f[i][j]表示背包容量为j时，前i个物品所能达到的最大价值。0<=j<=bagV
第i个商品体积为vi，价值为wi，则状态转移方程：

• j<vi，f[i][j] = f[i-1][j]     //背包装不下此物品，最大价值不变，还是为前i-1的最大价值
• j>=vi，f[i][j] = maxf[i-1][j],f[i-1][j-k*vi]+k*wi   //背包装得下，最大价值取装与不装该物品时同样达到该体积的最大价值，与0-1不同的是,可以装k个。

    /**
     * 利用二维数组实现
     * @param N  N个物品
     * @param bagV  背包体积为bagV
     * @param v  物品体积（v[i]表示第i个物品体积，v[0]=0）
     * @param w  物品价值（w[i]表示第i个物品价值，w[0]=0）
     */
    public static int competeBag(int N, int bagV, int[] v, int[] w)     
        //f[i][j]表示背包容量为j时前i个商品的最大价值
        int[][] f = new int[N+1][bagV+1];
        for(int i = 1; i <= N; i++) 
            for(int j = 0; j <= bagV; j++) 
                if(j < v[i])
                    f[i][j] = f[i-1][j];
                else
                    for(int k = 1; k*v[i] <= j; k++)
                        f[i][j] = Math.max(f[i-1][j], f[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]);
                
            
        
        return f[N][bagV];
    

View Code

　　利用一维数组的话，设f[j]表示背包容量为j时的最大价值，状态转移方程：f[j] = max[f[j]，f[j-k*vi]+k*wi

/**
     * 利用一维数组实现
     * @param N  N个物品
     * @param bagV  背包体积为bagV
     * @param v  物品体积（v[i]表示第i个物品体积，v[0]=0）
     * @param w  物品价值（w[i]表示第i个物品价值，w[0]=0）
     */
    public static int competeBag(int N, int bagV, int[] v, int[] w)     
        //f[j]表示背包容量为j时商品的最大价值
        int[] f = new int[bagV+1];
        for(int i = 1; i <= N; i++) 
            for(int j = 0; j <= bagV; j++) 
                for(int k = 1; k * v[i] <= j; k++) 
                    f[j] = Math.max(f[j], f[j-k*v[i]]+k*w[i]);
                
            
        
        return f[bagV];
    

View Code

优化代码：与0-1背包不同的是第二层循环j从小到大顺序遍历（0-1背包是从大到小逆序遍历）：

    /**
     * 利用一维数组实现
     * @param N  N个物品
     * @param bagV  背包体积为bagV
     * @param v  物品体积（v[i]表示第i个物品体积，v[0]=0）
     * @param w  物品价值（w[i]表示第i个物品价值，w[0]=0）
     */
    public static int competeBag(int N, int bagV, int[] v, int[] w)     
        //f[j]表示背包容量为j时商品的最大价值
        int[] f = new int[bagV+1];
        for(int i = 1; i <= N; i++) 
            for(int j = v[i]; j <= bagV; j++)
                f[j] = Math.max(f[j], f[j-v[i]]+w[i]);
        
        return f[bagV];
    

3、多重背包问题

题目描述：

　　有 N 种物品和一个容量是 bagV 的背包。第 i 种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。

　　求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。输出最大价值。

思路：

　　和完全背包类似，不同的是第二层循环j时多了一个对物品个数的限制。

    /**
     * 利用一维数组实现
     * @param N  N个物品
     * @param bagV  背包体积为bagV
     * @param v  物品体积（v[i]表示第i个物品体积，v[0]=0）
     * @param w  物品价值（w[i]表示第i个物品价值，w[0]=0）
     * @param s  s[i]表示第i个物品最多有多少个 ，s[0]=0
     */
    public static int multipleBag(int N, int bagV, int[] v, int[] w, int[] s)     
        //f[j]表示背包容量为j时商品的最大价值
        int[] f = new int[bagV+1];
        for(int i = 1; i <= N; i++) 
            for(int j = 0; j <= bagV; j++) 
                for(int k = 1; k <= s[i] && k * v[i] <= j; k++) 
                    f[j] = Math.max(f[j], f[j-k*v[i]]+k*w[i]);
                
            
        
        return f[bagV];
    

利用二进制优化，转化为0-1背包问题：

　　一个数a，我们可以按照二进制来分解为 a=1+2+4+8……+2^n+剩下的数，我们把a拆成这么多项，可以证明，这么多项可以组合出1~a的每一个数。

　　不管最优策略选择几件第i种物品，总可以表示成若干件物品的和。利用二进制拆分将a拆成若干数字的和，假设拆成M个数字，则这样把原问题转化为物品数量为M的0-1背包问题

//先定义一个类来存放新商品
class Goods 
    int v; //体积
    int w; //价值
    public Goods(int v, int w) 
        this.v = v;
        this.w = w;
    

-----------------------------------------------

    /**
     * 二进制优化，转为0-1背包问题来实现
     * @param N  N个物品
     * @param bagV  背包体积为bagV
     * @param v  物品体积（v[i]表示第i个物品体积，v[0]=0）
     * @param w  物品价值（w[i]表示第i个物品价值，w[0]=0）
     * @param s  s[i]表示第i个物品最多有多少个 ，s[0]=0
     */
    public static int multipleBag(int N, int bagV, int[] v, int[] w, int[] s)     
        //存放新商品的体积、价值
        ArrayList<Goods> list = new ArrayList<Goods>();
        //s[i]拆为一些数的和，重新存放商品，二进制转换为0-1背包问题
        for(int i = 1; i <= N; i++) 
            int ss = s[i];
            for(int k = 1; k <= ss; k *= 2) 
                ss -= k;
                list.add(new Goods(k*v[i], k*w[i]));
            
            //剩下的数
            if(ss > 0)
                list.add(new Goods(ss*v[i], ss*w[i]));
        
        
        //按照0-1背包问题求解
        int[] f = new int[bagV+1];
        for(Goods good : list) 
            for(int j = bagV; j >= good.v; j--) 
                f[j] = Math.max(f[j], f[j-good.v]+good.w);
            
        
        return f[bagV];
        
    

4、混合背包问题

有 N种物品和一个容量是 bagV的背包。物品一共有三类：

• 第一类物品只能用1次（01背包）；
• 第二类物品可以用无限次（完全背包）；
• 第三类物品最多只能用 si 次（多重背包）；

每种体积是 vi，价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。输出最大价值。

 

这里我们给出输入输出格式：

输入格式:
　　第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。
　　接下来有 N行，每行三个整数 vi,wi,si，用空格隔开，分别表示第 i种物品的体积、价值和数量。
　　　　si=−1 表示第 i种物品只能用1次；
　　　　si=0 表示第 i种物品可以用无限次；
　　　　si>0 表示第 i种物品可以使用 si 次；
输出格式:
　　输出一个整数，表示最大价值。

输入样例:
4 5
1 2 -1
2 4 1
3 4 0
4 5 2
输出样例：8

思路：

　　将多重背包转换为0-1背包进行处理，所以最后只需要处理两种背包：0-1背包与完全背包。

//定义一个Goods类
class Goods 
    int v; //体积
    int w; //价值
    int s; //物品类型：-1、0、>0
    public Goods(int v, int w, int s) 
        this.v = v;
        this.w = w;
        this.s = s;
        


public class Main 

    public static void main(String[] args) 
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int N = sc.nextInt(); //N个物品
        int bagV = sc.nextInt(); //背包容积为bagV
        //存储物品的体积和价值
        int[] v = new int[N+1]; //体积
        int[] w = new int[N+1]; //价值
        int[] s = new int[N+1]; //物品类型：-1--只有1件、0--有无数件、>0--有这些件
        for(int i = 1; i <= N; i++) 
            v[i] = sc.nextInt();
            w[i] = sc.nextInt();
            s[i] = sc.nextInt();
        
        System.out.println(mixtureBag(N, bagV, v, w, s));
    
    
    /*
     * s[i]=-1: 0-1背包
     * s[i]=0 :完全背包
     * s[i]>0 :多重背包
     * 多重背包可以转换为0-1背包进行处理
     */
    public static int mixtureBag(int N, int bagV, int[] v, int[] w, int[] s) 
        //存放商品的 体积、价值、类型
        ArrayList<Goods> list = new ArrayList<Goods2>();
        
        for(int i = 1; i <= N; i++)
            if(s[i] == -1 || s[i] == 0)
                list.add(new Goods(v[i], w[i], s[i]));
            else 
                //多重背包二进制优化转为0-1背包问题
                int ss = s[i];
                for(int k = 1; k <= s[i]; k *= 2) 
                    ss -= k;
                    list.add(new Goods(k*v[i], k*w[i], -1));
                
                if(ss > 0)
                    list.add(new Goods(ss*v[i], ss*w[i], -1));
            
        
        
        int[] f = new int[bagV+1];
        for(Goods good : list) 
            //0-1背包
            if(good.s == -1)
                for(int j = bagV; j >= good.v; j--)
                    f[j] = Math.max(f[j], f[j-good.v]+good.w);
            
            //完全背包
            else
                for(int j = good.v; j <= bagV; j++)
                    f[j] = Math.max(f[j], f[j-good.v]+good.w);
            
        
        return f[bagV];
    
    

 

 

 

参考：dd大牛的《背包九讲》

代码练习：https://www.acwing.com/problem/