比赛SMOJ 2019.4.21

Posted 2022-06-02 info---tion

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了比赛SMOJ 2019.4.21相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

~~第三次体会到考试出超纲题的绝望……~~

~~不要问我前两次在什么时候~~

\(\mathrmT1\)

\(\colorredTotally\ Brute\ Force!\)

就是个暴力……

我们一开始假设整个数组是一个区间\([1,n]\)的区间，然后每次操作都会把区间从中间断开。（可以理解成：把中间的数删去后，左右两侧的数会分成两个区间）

这里要说一下这些区间的定义：

struct Segmentint st,len;;

\(st\)表示这个区间中最小的数；\(len\)表示这个区间的长度。

比如说，原题的样例\(1\)，进行了第一次删除操作后，整个数组就被分成了两个区间：分别是\(1\sim2,5\sim8\)。用结构体表示就是

(Segment)1,2;
(Segment)5,4;

然后，假如我们要处理一个删除操作，这个删除操作会影响到连续的若干个区间的话，有两个操作是所有情况通用的：

修改最左区间的\(len\)
新建一个区间。

这个区间的\(st\)是数组中的第\(ri\)个数（\(ri\)就是删除操作的\(ri\)），但这个第\(ri\)个数的准确数值要从Segment那个结构体中得到（因为\(st\)存的是准确数值）。

这个区间的\(len\)就是受到影响的最右边的区间的\(len-\text最右边的区间被删去部分的长度\)

也许你会问：为什么不直接修改最右边的区间呢？

假如删除操作只影响了一个区间，那么这个区间就会分裂成两个区间，所以还是要新建一个区间的。

做完上述两个操作之后，就把受到影响的，且既不是最左也不是最右的区间删掉。

删完之后，再看一下：如果最左区间或者最右区间的\(len=0\)，就把这个区间也删掉。

插入删除操作就跟在顺序线性表中插入元素一样，时间复杂度是\(\mathrmO(n)\)的。

重点其实应该是修改最左区间和插入最右区间这两个操作。

~~这就是超纲题了。~~

建议大家先看看这一题和这一题~~并尝试将代码写出来~~再继续往下看。

回到这一题。

很明显，\(\mathrmT\)很大，而每条边的权值又很小，这时，同余系下最短路就能发挥用场了。

在跳楼机那一题中，我们用\(dis[i]\)表示路径长度在模一个指定边权之后的数值为\(i\)的最小值。（其实和分层图有点像）

在这里，我们只需要把\(dis[i]\)扩多一维变成\(dis[i][j]\)，\(i\)表示在第\(i\)个节点，\(j\)的意义和上面的\(i\)一样。

然后我们就可以像跳楼机一样~~猥琐操作~~了：

然后就像分层图上最短路一样直接跑\(\mathrmSPFA\)。

具体来讲就是

if( dis[h.pos][h.mval]+e.len<dis[e.to][(h.mval+e.len)%mod] )
    dis[e.to][(h.mval+e.len)%mod]=dis[h.pos][h.mval]+e.len; //从代码里抄的

跑完\(\mathrmSPFA\)后，我们要取的是\(dis[n-1][\mathrmT\%(len \times 2)]\)的值，这样的话，\(dis\)中最短路的长度加上若干个\(len\)之后就会等于\(\mathrmT\)了。

问题来了：为什么是\(\%(len \times 2)\)而不是\(\%len\)呢？
因为我们到了终点或者还停留在起点时，只有在同一条边上走偶数次才能回到原处。

接着，我们可以把\(\mathrmT\)变形成一次函数的形式（就是\(ax+b\ (a=e.len,b<a)\)）。

我们在同一条边上走偶数次，就等同于将\(\mathrmT=ax+b\)这个式子的\(a\)减去了一个偶数。

设被减去后的\(\mathrmT=a'x+b\)，则很明显：

\(a' \equiv a \pmod 2\)~~（就是说\(a'\)和\(a\)奇偶性相同）~~

换言之，我们要使\(dis\)数组中的最短路长度的\(a\)和\(\mathrmT\)的\(a\)同奇同偶。

然后，下面的结论就~~很容易证明了：~~

设\(\mathrmT=a_1x+b,\mathrmT\%(len\times 2)=a_2x+b\)，则\(a_1 \equiv a_2 \pmod2\)。