2019/7/31 LCA(最近公共祖先)

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了2019/7/31 LCA(最近公共祖先)相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

  LCA(最近公共祖先)

    LCA,Lowest Common Ancetors,即最近公共祖先。

百度百科定义:“对于有根树T的两个结点u、v,最近公共祖先 技术图片 表示一个结点x,满足x是u、v的祖先且x的深度尽可能大。

  什么是LCA?

     对于一些朋友来说百度百科式的介绍不是很友好,我们在这里形象实际地说明一下什么是LCA。

     这是一颗树(原谅我手残)

                                       技术图片

      对于u:结点6,v:结点11,根据定义,我们不难找出u,v各自的祖先(父节点)。(顺序由深至浅)

       u(结点6):结点3(深度3),结点2(深度2),结点1(深度1)。

       v(结点11):结点9(深度4),结点7(深度3),结点2(深度2),结点1(深度1)。

     基于LCA定义中“公共”一词,u、v的公共祖先为结点2、结点1。而其中深度最深的结点2即为u(结点6)与v(结点11)的LCA。

     而从图上来看,从u/v结点到根结点路径上的所有点都为u/v结点的祖先,而两条路径第一次交汇处的结点即为u与v的LCA。

  如何求任意两点间LCA?

     主流算法共有4种:

  • 倍增

  • Tarjan

  • RMQ(ST表+欧拉序列)

  • 树链剖分

     其中倍增法较为基础、简单,Tarjan较难理解,RMQ较少见但容易理解,树剖在下并不会(以后再更新绝对不鸽)。

     今天我们来研究RMQ(ST表+欧拉序列)求LCA。

  RMQ(ST表+欧拉序列)求LCA

     前置知识:

  • ST表(DP)

  • DFS

  • 链式前向星

  梗概:此种方法是通过求出给定树的欧拉序列,通过构造ST表进行给定两点间区间RMQ查询,求出给定两点LCA。

  1.欧拉序列

  定义:树的欧拉序是对树进行DFS的一种序列。 有两种形式: 1、在每个结点进和出都加进序列。 2、只要到达每一个结点就把他加进序列。

  第一种欧拉序列用于树上求和等问题,我们暂且不讲。后一种则是用于求两点LCA等问题。

  还是这棵树(原谅我手残)

                                            技术图片   

     对这棵树进行DFS,能够得到对于这棵树的欧拉序列。

  技术图片               技术图片

                          树上路径                                                               实际访问路径

  欧拉序列:1->2->7->8->7->10->13->10->12->10->7->9->11->9->7->2->3->6->3->5->3->4->3->2->1

  (值得注意的是由于DFS开始方向不同,欧拉序列整体顺序可能相反)

  性质:我们可以发现在欧拉序列中,从树上一点u第一次出现到树上另一点v第一次出现需要遍历u结点所有子树,并回到u结点,进行回溯,遍历u->v树上路径。

  而对于这两点的LCA,不难发现LCA一定位于u->v树上路径上且LCA一定是树上路径中最浅结点。由此可以推出,在某颗树的欧拉序列中,给定点u与给定点v的

  LCA是u在欧拉序列中第一次出现位置与v在欧拉序列中第一次出现位置间形成的区间中深度最浅的点。

  (eg.对于上图树中结点6与结点11,其在欧拉序列中形成区间为11->9->7->2->3->6,深度分别为5->4->3->2->3->4,LCA即为最浅点结点2(深度2)。)

  P.S.  实际实现时注意两节点第一次出现位置的大小,可能需要交换顺序。 

  2.ST表

  原理我们暂且不讲,不了解的同学可以先将它理解为一种快速查找给定区间最大/最小值(区间RMQ问题)的算法。

  在求LCA的过程中,我们所需的ST表与普通ST表略微不同。因为我们在查找最小值时还需要查找此最小值对应的节点编号,以此直接求出LCA。

  此问题的解决方法也比较简单,设定一个rec[ ]数组,使其在st表结构数组st[ ]更新时同步更新,查找时比较数组st[ ]得到某一结点深度最浅并返回此结点对应数组

  rec[ ]中的节点编号。

  至此,我们对此算法原理研究结束。

  3.代码实现

  上代码!

  声明部分:

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstdio>//标准输入输出
 3 #include <cmath>//用于ST表中求解log
 4 using namespace std;
 5 int n,m,s,cnt,tot;// s:根节点,cnt:链式前向星,tot:总欧拉序列长度
 6 int head[1000005];//链式前向星不解释
 7 int depth[1000005];//记录当前结点深度
 8 int num[1000005];//记录节点第一次出现位置
 9 int rec[2000005][20];//查询数组
10 int st[2000005][20];//ST表结构数组
11 int euler[1000005];//欧拉序列数组
12 //int dp[1000005];求节点深度数组 
13 //int wd[1000005];求某一深度树的宽度数组

 

  链式前向星存边:

 1 struct edge
 2 
 3     int nxt;
 4     int to;
 5     //int dis;边权值//在本示例中默认边权为1
 6 e[4000005];//建议开4倍数组
 7 void add(int x,int y/*,int d*/)
 8 
 9     e[++cnt].nxt=head[x];
10     //e[cnt].dis=d;
11     e[cnt].to=y;
12     head[x]=cnt;
13     

  DFS:

 1 void dfs(int x,int dep)//x为当前节点,dep为当前节点深度
 2 
 3 
 4     num[x]=++tot;//记录x节点第一次出现位置
 5     depth[tot]=dep;//对应深度
 6     euler[tot]=x;//记录序列
 7     //dp[x]=max(dp[x],depth[tot]); //求某一结点深度
 8     //cout<<"#访问节点:"<<x<<"   depth数组:"<<depth[tot]<<endl;
 9     for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)//遍历边
10     
11         int p=e[i].to;
12         if(num[p]==0)//p节点如未出现
13         
14             dfs(p,dep+1);//遍历
15             euler[++tot]=x;//回溯后记录序列
16             depth[tot]=dep;//记录对应深度
17         
18     
19     return ;
20 

  ST表求RMQ:

 1 void RMQ(int N)//N:欧拉序列长度
 2 
 3     for(int j=1;j<=(int)(log((double)N)/log(2.0));j++)
 4     
 5         for(int i=1;i<=N;i++)
 6         
 7             if(i+(1<<j)-1<=N)
 8             if(st[i][j-1]<st[i+(1<<(j-1))][j-1])//同步更新rec[ ]数组
 9                 st[i][j]=st[i][j-1],rec[i][j]=rec[i][j-1];
10             else 
11                 st[i][j]=st[i+(1<<(j-1))][j-1],rec[i][j]=rec[i+(1<<(j-1))][j-1];
12         
13     
14 
15 
16 int search(int l,int r)
17 
18     int k=(int)(log((double)(r-l+1))/log(2.0));
19     if(st[l][k]<st[r-(1<<k)+1][k])//比较后返回rec[ ]数组对应节点编号
20     return rec[l][k];
21     else
22     return rec[r-(1<<k)+1][k];
23 

  主函数:

 1 int main()
 2 
 3     cin>>n>>m>>s;
 4     for(int i=1;i<=n-1;i++)//读边
 5     
 6         int a,b;
 7         scanf("%d %d",&a,&b);
 8         add(a,b);//无向图正反存边
 9         add(b,a);
10     
11     dfs(s,1);//开始遍历
12     for(int i=1;i<=tot;i++)//初始化
13     
14         st[i][0]=depth[i],rec[i][0]=euler[i];
15     
16     RMQ(tot);//构建ST表
17     /*//接下来是不必要部分//当初死在了这里
18     int dcnt=0,maxx=0;//dcnt:数的最大深度,maxx:数的最大宽度
19     for(int i=1;i<=n;i++)
20     
21         wd[dp[i]]++;//统计所有深度为dp[i]的节点求出当前深度树宽度
22     
23     for(int i=1;i<=n;i++)
24     
25         if(wd[i]==0)
26         
27             break;
28         
29         dcnt++;//统计最大深度//笨方法
30     
31     for(int i=1;i<=wcnt+1;i++)
32     
33         maxx=max(maxx,wd[i]);//求最大宽度
34     
35 36     */
37     for(int i=1;i<=m;i++)//查询部分
38     
39         int l,r,fg=0;//l:节点u,r:节点v,fg:交换标志
40         scanf("%d %d",&l,&r);
41         if(num[l]>num[r])//交换
42         
43             swap(num[l],num[r]);
44             fg=1;//交换后标记
45         
46         printf("%d\\n",search(num[l],num[r]));//查询并输出
47         if(fg==1)//交换回来!!!!!记得交换回来!!!!!//p.s.2019/7/29模拟赛爆0 r.i.p
48         swap(num[l],num[r]);
49     
50     return 0;
51 

  结语

  LCA问题较为常见,应至少掌握一种方法。

  拓展:

  此种思想也可用于求树(最大)宽度/深度,树上距离,三点LCA等问题。

  相关题目

  洛谷 P3379 【模板】最近公共祖先(LCA)

  洛谷 P3884  [JLOI2009]二叉树问题  

  洛谷 P4281 [AHOI2008]紧急集合 / 聚会(三点LCA)

  //暂时只想到这么多·········

  Q.E.D.(大雾)

  p.s.

  由于是萌新第一次撰写题解,在语言及思路等方面定会有不足之处,请大家多多包涵,也欢迎各位大佬指正。

 

  

 

   

  

  

  

   

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