模板：启发式合并

Posted 2020-11-10 $DeepinC$

首先说明一点：线段树合并不是启发式合并。

启发式合并的大概内容就是：把小的数据结构按照这个数据结构的正常插入方法，一个一个地暴力塞进去。

而线段树合并显然不是这个东西。

这道题的题解太烂了，所以耽误了很长时间。

对于每一次操作，它只有3个参数：起始位置，作用时间，颜色。

把颜色离散化一下，让它们的编号分布在1e5以内。也可以不离散化，略麻烦一些而已。注意有负数。

现在我们维护一个以时间为区间下标的线段树，里面维护两个权值，一个是第一次出现的小球的个数，另一个是所有小球的个数。

我们另开一组vector存储发生在这个节点上的操作，需要存储时间/颜色这2个参数。

刚开始我们读入所有操作，直接把它放进起始位置的vector里。

然后就可以一遍dfs求解答案。考虑在每个点要做什么事。

1）递归求解所有子树

2）求解所有在这个节点上的操作得到本节点的答案

3）把与自身相关的所有事件上传给父节点

这其实是暴力思路。

我们考虑一下，如果按照上述思路，要么就是需要清空线段树，要么就是开100000个树爆内存。

也只有第一个能考虑优化。

如果1号节点有2个儿子，其中2号节点上有99995次操作，3号节点上有5次。

还要清空线段树？有什么想法吗？

对于3号节点，它暴力上传的复杂度并不高，关键就是怎么处理2号节点。

如果先扫3号节点，清空，再2号节点，信息不清空，事件也暂时不上传。

那么回溯到了1号节点，我们有一个现成的已经存好了99995个操作的线段树，而vector里面只有5次操作需要插入。多好啊

考虑这样一个问题：因为父节点只是一个点，而子树里可能有很多点，所以某个儿子身上可能聚集了很多操作。

那么对于每一个节点，我们称其“子树中操作数最多的儿子”为它的重儿子。

那么按照刚才举例子的这个思路，优化一下上面的那个dfs流程。

1）扫所有的轻儿子，把轻儿子的vector中的全部时间放进父节点额vector里，清空线段树。

2）求解重儿子，保留线段树，暂时不加入重儿子vector里面的事件。

3）把vector里面所有的为插入线段树的事件插入线段树，求解答案。

然而我的代码实现把清空和信息上传放在了dfs的最后，为了代码与题解统一，稍微改一下。

1）扫轻儿子。

2）扫重儿子。

3）把vector里面所有的为插入线段树的事件插入线段树，求解答案。

4）如果当前节点不是它父节点的重儿子，就清空线段树，把vector上传。

其实本质上是一样的，个人感觉我这个挺好理解。

然而上面这个思路仍然不够成熟，有一些具体实现会让时间复杂度产生一些差别。

首先是如何求出重儿子。这个还是比较简单的，dfs扫一遍。记得打完这个函数要调用！不要像某个姓吴的名字是两个字的傻子一样。

1 void pre_dfs(int p,int fa){
2     siz[p]=v[p].size();
3     for(int i=fir[p];i;i=l[i])if(to[i]!=fa){
4         pre_dfs(to[i],p),siz[p]+=siz[to[i]];
5         if(siz[to[i]]>siz[hson[p]])ihs[hson[p]]=0,hson[p]=to[i],ihs[to[i]]=1;//hson[p]存p的重儿子，ihs[p]表示p是否为父节点的重儿子
6     }
7 }

然后是怎么把vector里面的数据上传。考虑极端情况：一条100000点的链，在最后一个点上有100000个事件。

显然暴力一个一个事件地上传会T成狗，这就是为什么要启发式合并，这样就有了nlog的合并复杂度的保证了。

1 void up(int p,int fa){
2     if(v[ref[p]].size()<v[ref[fa]].size()){//把小的往大的里面逐个插入
3         for(int i=0;i<v[ref[p]].size();++i)v[ref[fa]].push_back(v[ref[p]][i]);
4         v[ref[p]].clear();//清空，防止爆内存，但是好像不必要
5     }
6     else{for(int i=0;i<v[ref[fa]].size();++i)v[ref[p]].push_back(v[ref[fa]][i]);v[ref[fa]].clear();ref[fa]=ref[p];}
　　　　//如果是父节点的vector比儿子小，那么把父亲节点的vector倒进子节点的之后，要把代表元素修改一下，即节点fa对应的vector不再是v[fa]而是v[p]
7 }

再接下来需要实现的就是线段树了。设t数组表示球的总数量，c数组表示有贡献的球的数量（即每个颜色第一次出现的球的数量）

首先是修改，为了以后还要清空线段树（具体的等会再说），需要可加可减，倒没什么区别

1 void insert(int p,int pos,int tt,int cc){
2     if(cl[p]==cr[p]){t[p]+=tt;c[p]+=cc;return;}//已经到了线段树叶子
3     if(pos<=cr[p<<1])insert(p<<1,pos,tt,cc);
4     else insert(p<<1|1,pos,tt,cc);
5     t[p]=t[p<<1]+t[p<<1|1];c[p]=c[p<<1]+c[p<<1|1];
6 }

 询问倒是有一点变化，有人说是二分查找什么的，我倒感觉有点多余。还记得平衡树上查第k大数的操作吗？

1 int ask(int p,int tt){
2     if(tt>=t[p])return c[p];//如果给这个节点分配的可容纳球的空间比总球数还大，那么所有有贡献的球都计入答案
3     return (tt>t[p<<1]?c[p<<1]+ask(p<<1|1,tt-t[p<<1]):ask(p<<1,tt));//如果左子树的球数就比容积大，那就去左子树，否则带上左子树的所有贡献去右子树
4 }

线段树也完事了，但是怎么清空啊？如果memset显然是在找死了。

线段树上绝大多数的点还是没有值的，怎么避开它们？

你插入过的地方一定是有值的，那么再把vector走一遍走到哪清到哪就好了。

这又引出了一个问题：清空时需要扫所有的时间，但其实你的重儿子并没有上传。

但是它又已经在线段树里面了，你不能再次插入，怎么办？

很简单啊，在处理完父节点的其它事件之后求解答案完毕再上传就好了啊。

再稍稍修改一下dfs框架。

1）扫轻儿子。

2）扫重儿子。

3）把vector里面所有的为插入线段树的事件插入线段树，求解答案。

4）把重儿子的信息上传到自己身上。

5）如果当前节点不是它父节点的重儿子，就清空线段树，把vector上传。

还有，你怎么知道一个球有没有贡献？

开一个数组（没离散化就是map），记录这种颜色出现的最早时间，扫所有操作：

如果这个颜色没出现过，那么插入这个球，球数+1，贡献+1

如果这个颜色出现过，但是是在更晚的时间，那么在那个时间的贡献-1（不再是最早的了），在这个时间的球数和贡献+1

如果这个颜色已经再更早的时间出现过，那么球数+1但不加贡献

清空同理，用刚才的那个数组对照每个操作就行。

dfs的具体实现也有了。

 1 void dfs(int p,int fa){
 2     for(int i=fir[p];i;i=l[i])if(to[i]!=fa&&to[i]!=hson[p])dfs(to[i],p);//先扫轻儿子
 3     if(hson[p])dfs(hson[p],p);//最后扫重儿子
 4     for(int i=0;i<v[ref[p]].size();++i){//处理所有不在树里的事件
 5         int tim=v[ref[p]][i].first,col=v[ref[p]][i].second;
 6         if(!al[col])insert(1,tim,1,1),al[col]=tim;//前面的事件里没有这个颜色，有球有贡献，记录最早的时间
 7         else if(al[col]>tim)insert(1,al[col],0,-1),insert(1,tim,1,1),al[col]=tim;//时间比先插入的事件更早，把那个事件的贡献去除，新事件是有球有贡献的，更新最早时间
 8         else insert(1,tim,1,0);//出现晚了，只有球，没有贡献
 9     }
10     ans[p]=ask(1,min(ct[p],t[1]));if(hson[p])up(hson[p],p);//统计答案，把重儿子的事件传上来
11     if(!ihs[p]){//如果不是父节点的重儿子
12         for(int i=0;i<v[ref[p]].size();++i){//清空线段树
13             int tim=v[ref[p]][i].first,col=v[ref[p]][i].second;
14             if(al[col]==tim)insert(1,tim,-1,-1),al[col]=0;else insert(1,tim,-1,0);
　　　　　　　　//如果你就是这个颜色里出现最早的，去掉球和贡献，并且重置出现的时间，如果不是最早的，只扔球，没有贡献
　　　　　　　　//好像也可以直接置为0，但我懒得再打个函数了
15         }
16         up(p,fa);//把自己的信息上传
17     }
18 }

整体做完，感觉并不是很难啊。而且这个思路貌似挺暴力的啊。。

但是就是想不到。。。略略略。。。

 1 #include<cstdio>
 2 #include<vector>
 3 #include<map>
 4 #include<iostream>
 5 using namespace std;
 6 vector<pair<int,int> >v[100005];
 7 map<int,int>ma;
 8 int al[100005],fir[100005],l[200005],to[200005],cnt,n,m,q,ct[100005];
 9 int hson[100005],ans[100005],k,siz[100005],ihs[100005],ref[100005];
10 int cl[400005],cr[400005],t[400005],c[400005];
11 void connect(int a,int b){
12     l[++cnt]=fir[a];fir[a]=cnt;to[cnt]=b;
13     l[++cnt]=fir[b];fir[b]=cnt;to[cnt]=a;
14 }
15 void pre_dfs(int p,int fa){
16     siz[p]=v[p].size()+1;
17     for(int i=fir[p];i;i=l[i])if(to[i]!=fa){
18         pre_dfs(to[i],p),siz[p]+=siz[to[i]];
19         if(siz[to[i]]>siz[hson[p]])ihs[hson[p]]=0,hson[p]=to[i],ihs[to[i]]=1;
20     }
21 }
22 void build(int p,int l,int r){
23     cl[p]=l;cr[p]=r;
24     if(l==r)return;
25     build(p<<1,l,l+r>>1);build(p<<1|1,(l+r>>1)+1,r);
26 }
27 void insert(int p,int pos,int tt,int cc){
28     if(cl[p]==cr[p]){t[p]+=tt;c[p]+=cc;return;}
29     if(pos<=cr[p<<1])insert(p<<1,pos,tt,cc);
30     else insert(p<<1|1,pos,tt,cc);
31     t[p]=t[p<<1]+t[p<<1|1];c[p]=c[p<<1]+c[p<<1|1];
32 }
33 int ask(int p,int tt){
34     if(tt==t[p])return c[p];
35     return (tt>t[p<<1]?c[p<<1]+ask(p<<1|1,tt-t[p<<1]):ask(p<<1,tt));
36 }
37 void up(int p,int fa){
38     if(v[ref[p]].size()<v[ref[fa]].size()){
39         for(int i=0;i<v[ref[p]].size();++i)v[ref[fa]].push_back(v[ref[p]][i]);
40         v[ref[p]].clear();
41     }
42     else{for(int i=0;i<v[ref[fa]].size();++i)v[ref[p]].push_back(v[ref[fa]][i]);v[ref[fa]].clear();ref[fa]=ref[p];}
43 }
44 void dfs(int p,int fa){
45     for(int i=fir[p];i;i=l[i])if(to[i]!=fa&&to[i]!=hson[p])dfs(to[i],p);
46     if(hson[p])dfs(hson[p],p);
47     for(int i=0;i<v[ref[p]].size();++i){
48         int tim=v[ref[p]][i].first,col=v[ref[p]][i].second;
49         if(!al[col])insert(1,tim,1,1),al[col]=tim;
50         else if(al[col]>tim)insert(1,al[col],0,-1),insert(1,tim,1,1),al[col]=tim;
51         else insert(1,tim,1,0);
52     }
53     ans[p]=ask(1,min(ct[p],t[1]));if(hson[p])up(hson[p],p);
54     if(!ihs[p]){
55         for(int i=0;i<v[ref[p]].size();++i){
56             int tim=v[ref[p]][i].first,col=v[ref[p]][i].second;
57             if(al[col]==tim)insert(1,tim,-1,-1),al[col]=0;else insert(1,tim,-1,0);
58         }
59         up(p,fa);
60     }
61 }
62 int main(){
63     scanf("%d",&n);ihs[1]=1;
64     for(int i=1,a,b;i<n;++i)scanf("%d%d",&a,&b),connect(a,b);
65     for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%d",&ct[i]),ref[i]=i;
66     scanf("%d",&m);build(1,1,m);
67     for(int i=1,p,c;i<=m;++i){
68         scanf("%d%d",&p,&c);if(ma.find(c)==ma.end())ma[c]=++k;
69         v[p].push_back(make_pair(i,ma[c]));
70     }
71     per_dfs(1,0);dfs(1,0);
72     scanf("%d",&q);
73     for(int i=1,a;i<=q;++i)scanf("%d",&a),printf("%d\n",ans[a]);
74 }

完整代码