2019 ICPC 南昌 K. Tree（树上启发式合并，平衡树 treap）

Posted 2021-10-06 繁凡さん

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题目链接

https://nanti.jisuanke.com/t/42586

Problem

给定一个 $n$ 个点的树，以及参数 $k$，树上每个点均有一个权值 ${\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{l}}_i$。

询问树上有序对 $(x,y)$ 的数量，满足以下条件：

• $x$ 不等于 $y$
• $x$ 不是 $y$ 的祖先
• $y$ 不是 $x$ 的祖先
• $x$ 和 $y$ 之间的距离不超过 $k$
• ${\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{l}}_x+{\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{l}}_y=2\times {\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{l}}_{\mathrm{l}\mathrm{c}\mathrm{a}(x,y)}$​

$n,k\le 10^5$，$0\le {\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{l}}_i\le n$。

Solution

树上统计问题，发现问题可以划分成子树的问题，显然考虑树上启发式合并。

树上两点间距离问题考虑分析 $\mathrm{l}\mathrm{c}\mathrm{a}(x,y)$，假设已知 $\mathrm{l}\mathrm{c}\mathrm{a}(x,y)=z$，考虑统计以 $z$ 的为根的子数中，对答案有贡献的点对 $(x,y)$ 的数量。

我们在树上启发式合并枚举到第 $i$ 课子树的时候，统计与前 $i-1$ 棵子树之间的贡献即可。

考虑从给定的五个条件出发分析。条件五：${\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{l}}_x+{\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{l}}_y=2\times {\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{l}}_{\mathrm{l}\mathrm{c}\mathrm{a}(x,y)=z}$，显然此时 ${\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{l}}_x$ 和 ${\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{l}}_z$ 都已经确定了，那么我们就可以得到 ${\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{l}}_y=2\times {\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{l}}_z-{\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{l}}_x$。

考虑条件四， $x$ 和 $y$ 之间的距离不超过 $k$。我们已经知道了 $d_x$ 和他们的 $\mathrm{l}\mathrm{c}\mathrm{a}$ 的深度 $d_z$，显然可以得到 $d_y=k-d_x+2\times d_z$。

综上所述，问题转化为了，求前 $i-1$ 子树中深度不超过 $d_y$ 且点的权值为 ${\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{l}}_y$ 的点的个数。

考虑 $\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{l}\le 10^5$，可以直接维护权值，对于每一个权值，建一个平衡树，即建立 $n+1$ 棵平衡树，以深度为下标序列，维护该权值的点在每个深度的点的个数。

考虑 dsu 深度最多 $\log n$，开 $10^5$ 个平衡树，每个平衡树最多只有 $\log n$ 个点，我们只需要维护一个大小为 $n\log n=2\times 10^6$ 的平衡树即可。

时间复杂度 $O(n\log n\log n)$

调了一个小时才A，真的蚌埠住了

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1e5 + 7, maxm = 1e7 + 7, INF = 0x3f3f3f3f;

ll ans;
int val[maxn]; 
int root[maxn];
int deep[maxn];

namespace treap
{ 
	struct node{
	    int l, r; 
	    int key; 
	    int val; 
	    int cnt; 
	    int size; 
	}tr[maxm];
	
	int root, idx;
	
	void pushup(int p){
	    tr[p].size = tr[tr[p].l].size + tr[tr[p].r].size + tr[p].cnt;
	}
	
	int get_node(int key){
	    tr[ ++ idx].key = key;
	    tr[idx].val = rand(); 
	    tr[idx].cnt = tr[idx].size = 1;
	    return idx;
	}
	 
	void zig(int &p){//右旋
	    int q = tr[p].l;
	    tr[p].l = tr[q].r;tr[q].r = p, p = q;
	    pushup(tr[p].r), pushup(p);
	}
	
	void zag(int &p){//左旋
	    int q = tr[p].r;
	    tr[p].r = tr[q].l;tr[q].l = p, p = q;
	    pushup(tr[p].l), pushup(p);
	}
	 
	void my_insert(int &p, int key){
	    if(!p) p = get_node(key); 
	    else if(tr[p].key == key) tr[p].cnt ++ ;
	    else if(tr[p].key > key){ 
	        my_insert(tr[p].l, key);
	        if(tr[tr[p].l].val > tr[p].val)
				zig(p);
	    }
	    else { 
	        my_insert(tr[p].r, key);
	        if(tr[tr[p].r].val > tr[p].val)	
				zag(p);
	    }
	    pushup(p);
	}
	 
	void my_delet_one(int &p, int key){ 
	    if(!p) return ;
	    if(tr[p].key == key){ 
	        if(tr[p].cnt > 1) tr[p].cnt -- ;
	        else if(tr[p].l || tr[p].r){
	            if(!tr[p].r || tr[tr[p].l].val > tr[tr[p].r].val){ 
	                zig(p);
	                my_delet_one(tr[p].r, key);
	            }
	 
	            2019年ICPC南昌网络赛 J. Distance on the tree 树链剖分+主席树

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