树状数组求逆序对

Posted 2022-05-26 -ackerman

首先，先让我们了解下逆序对的概念：

如果存在正整数 i, j 使得 1 ≤ i < j ≤ n 而且 A[i] > A[j]，则 <A[i], A[j]> 这个有序对称为 A 的一个逆序对，也称作逆序数。

 

现在直接拿POJ-2299作为例题来说下这个逆序对吧

 

1.解释为什么要有离散的这么一个过程？
刚开始以为999.999.999这么一个数字，对于int存储类型来说是足够了。
还有只有500000个数字，何必要离散化呢？
刚开始一直想不通，后来明白了，后面在运用树状数组操作的时候，
用到的树状数组C[i]是建立在一个有点像位存储的数组的基础之上的，
不是单纯的建立在输入数组之上。
比如输入一个9 1 0 5 4，那么C[i]树状数组的建立是在
 
数据：9 1 0 5 4  p[i].val
编号：1 2 3 4 5  p[i].oder = i*************
sort
数据：0 1 4 5 9
编号：3 2 5 4 1
顺序：1 2 3 4 5
 
a[p[i].编号] = 顺序号;**********************
    
a[3] = 1<--0;
a[2] = 2<--1;
a[5] = 3<--4;
a[4] = 4<--5;
a[1] = 5<--9;
      
a[]= 5 2 1 4 3 
 
新号：1 2 3 4 5
值  ：
 
下标 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
数组 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1
现在由于999999999这个数字相对于500000这个数字来说是很大的，
所以如果用数组位存储的话，那么需要999999999的空间来存储输入的数据。
这样是很浪费空间的，题目也是不允许的，所以这里想通过离散化操作，
使得离散化的结果可以更加的密集。
简言之就是开一个大小为这些数的最大值的树状数组
2. 怎么对这个输入的数组进行离散操作？
离散化是一种常用的技巧，有时数据范围太大，可以用来放缩到我们能处理的范围；
因为其中需排序的数的范围0---999 999 999；显然数组不肯能这么大；
而N的最大范围是500 000；故给出的数一定可以与1.。。。N建立一个一一映射；
（1）当然用map可以建立，效率可能低点；
（2）这里用一个结构体
struct Node

    int val,pos;
p[510000];
　　　　　　　　　一个数组a[510000];
 
其中val就是原输入的值，pos是下标；
然后对结构体按val从小到大排序；
 
此时，val和结构体的下标就是一个一一对应关系，
而且满足原来的大小关系；
 
   for(i=1;i<=N;i++)
   a[p[i].pos]=i;
 
 然后a数组就存储了原来所有的大小信息；
 比如 9 1 0 5 4 ------- 离散后aa数组
 就是 5 2 1 4 3；
 具体的过程可以自己用笔写写就好了。
 
3. 离散之后，怎么使用离散后的结果数组来进行树状数组操作，计算出逆序数？
    如果数据不是很大， 可以一个个插入到树状数组中，
    每插入一个数， 统计比他小的数的个数，
    对应的逆序为 i- sum( a[i] ),
    其中 i 为当前已经插入的数的个数，
    sum( a[i] ）为比 a[i] 小的数的个数,
    i- sum( a[i] ) 即比 a[i] 大的个数， 即逆序的个数
    但如果数据比较大，就必须采用离散化方法
假设输入的数组是9 1 0 5 4， 离散后的结果a[] = 5,2,1,4,3;
在离散结果中间结果的基础上，那么其计算逆序数的过程是这么一个过程。
1.输入5，   调用add(5, 1),把第5位设置为1
1 2 3 4 5
0 0 0 0 1
计算1-5上比5小的数字存在么？ 这里用到了树状数组的sum（5） = 1操作，
现在用输入的下标1 -sum(5) = 0 就可以得到对于5的逆序数为0。
2. 输入2， 调用add(2, 1),把第2位设置为1
1 2 3 4 5
0 1 0 0 1
计算1-2上比2小的数字存在么？ 这里用到了树状数组的sum（2） = 1操作，
现在用输入的下标2 - sum(2) = 1 就可以得到对于2的逆序数为1。
3. 输入1， 调用add(1, 1),把第1位设置为1
1 2 3 4 5
1 1 0 0 1
计算1-1上比1小的数字存在么？ 这里用到了树状数组的sum（1） = 1操作，
现在用输入的下标 3 -sum(1) = 2 就可以得到对于1的逆序数为2。
4. 输入4， 调用add(4, 1),把第5位设置为1
1 2 3 4 5
1 1 0 1 1
计算1-4上比4小的数字存在么？ 这里用到了树状数组的sum（4） = 3操作，
现在用输入的下标4 - sum(4) = 1 就可以得到对于4的逆序数为1。
5. 输入3， 调用add(3, 1),把第3位设置为1
1 2 3 4 5
1 1 1 1 1
计算1-3上比3小的数字存在么？ 这里用到了树状数组的sum（3） = 3操作，
现在用输入的下标5 - sum(3) = 2 就可以得到对于3的逆序数为2。
6. 0+1+2+1+2 = 6 这就是最后的逆序数
分析一下时间复杂度，首先用到快速排序，时间复杂度为O(NlogN),
后面是循环插入每一个数字，每次插入一个数字，分别调用一次add()和sum()
外循环N, add()和sum()时间O(logN) => 时间复杂度还是O(NlogN)

　　

具体的代码实现：

#include <stdio.h>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <stdlib.h>
#include <string>
#include <string.h>
#include <math.h>
#include <vector>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <set>


#define INF 0x3f3f3f3f
#define LL long long
using namespace std;
const int  MAXN = 5e+5;


struct Node
    int val;
    int pos;
;

Node a[MAXN];
int b[MAXN];
int c[MAXN];
int n;

bool cmp(Node a,Node b)

    return a.val < b.val;


int lowbit(int x)

    return x & (-x);


void updata(int p)

    while (p<=n)
    
        c[p] += 1;
        p += lowbit(p);
    



int getsum(int p)

    int res = 0;
    while (p)
    
        res += c[p];
        p -= lowbit(p);
    
    return res;


void solve()

    for (int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&a[i].val);
        a[i].pos = i;
    
    sort(a+1,a+1+n,cmp);
    for (int i=1;i<=n;i++)
    
        b[a[i].pos] = i;
    
    LL ans = 0;
    memset(c,0, sizeof(c));
    for (int i=1;i<=n;i++)
    
        updata(b[i]);
        ans += i-getsum(b[i]);
    
    printf("%lld\n",ans);



int main()

    //freopen("../in.txt","r",stdin);
    while (~scanf("%d",&n))
    
        if (n == 0)
            break;
        else
            solve();
    
    return 0;