P2197 nim游戏

Posted 2022-05-20 btcadmire123a

话说它是（简单？）博弈论的基础的说？

这道模板还是很好打的，只要把所有数异或起来，ans如果为0就是必败局面，否则是必胜局面。

知道这个结论就很好打出来了啦！！

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 int main()
 4     int T;
 5     cin>>T;
 6     while(T--)
 7         int n,ans=0;
 8         cin>>n;
 9         for(int i=1,digit;i<=n;i++)
10             cin>>digit;
11             ans^=digit;
12         
13         if(!ans) cout<<"No";
14         else cout<<"Yes";
15         cout<<endl;
16     
17 

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但我知道这肯定不是关键？

ヾ(ｏ?ω?)?

是——怎么证明的说！！！

首先我们要了解nim的本质。

Nim游戏是博弈论中最经典的模型（之一），它又有着十分简单的规则和无比优美的结论 （我知道）Nim游戏是组合游戏(Combinatorial Games)的一种，准确来说，属于“Impartial Combinatorial Games”（以下简称ICG）。

第二个问题随之而出：ICG -> 1.两人；.

　　　　　　　　　　　　　 2.交替移动；

　　　　　　　　　　　　　 3.任意操作与以前无强制关系（为了最有可能会改变）

　　　　　　　　　　　　　 4.最后无法移动为负。

 通常的Nim游戏的定义是这样的：有若干堆石子，每堆石子的数量都是有限的，合法的移动是“选择一堆石子并拿走若干颗（不能不拿）”，如果轮到某个人时所有的石子堆都已经被拿空了，则判负（因为他此刻没有任何合法的移动）。

目的是任何一方会在最开始出现必胜策略的时候遵循必胜策略。

那么(?＞?＜)? 什么是必胜策略？

定义：P-position（Previous）与N-position（Next）局面与无法进行任何移动的局面（也就是terminal position），遵循：

1. 无法进行任何移动的局面为P（即最后一步），这样可以很好理解P是上一步操作的必胜局面。对于这一步的属于先手必败。
2. 可以移动到P的局面是N局面，遵循这个原则就可以保证先手必胜。
3. 所有只能导致N局面的局面是N局面，即指你走的这一步会导致下一操作者必胜。

按照定义，每一个局面都是N/P局面的一种。 按照从后向前递推或者拓扑论思想感性理解。

Nim游戏结论

(Bouton‘s Theorem)对于一个Nim游戏的局面(a1,a2,...,an)，它是P-position当且仅当a1^a2^...^an=0，其中^表示异或(xor)运算。

（雾）完全没有道理的和异或运算扯上了关系。（基本上就是按照两种position的证明来的。）

Nim游戏证明

1. 这个判断将所有terminal position判为P-position；（废话） 全是0，异或——；
2. 根据此判断，判为N-position的局面一定可以通过合法移动移动到某个P-position.即

    那么此时一定可以一步有。

正确性：

 

　　  3. 对于任意定义的P-position，一定不存在　一个合法移动移动到某个P-position。

正确性：因为异或求和满足消去律，那么这不合法。

 

证毕

根据这个定理，我们可以在O(n)的时间内判断一个Nim的局面的性质，且如果它是N-position，也可以在O(n)的时间内找到所有的必胜策略。Nim问题就这样基本上完美的解决了。