斯特林反演

Posted 2022-05-16 bestwyj

首先是斯特林反演的公式：
\[f(i)=\sum_j=0^i\beginBmatrixi\\j\endBmatrixg(j) \Longleftrightarrow g(i)=\sum_j=0^i(-1)^i-j\beginbmatrixi\\j\endbmatrixf(j)\]
然后考虑这玩意的意义：
\(n\) 个有标号的物品，设：在某种条件下把它们弄成允许相同的方案数为 \(G(n)\)，全部不同的方案数为 \(F(n)\)。
那么枚举这 \(n\) 个物品的集合划分方案，让每个集合里的物品相同，不同集合的物品不同，那么易得\[G(n)=\sum_i=0^n\beginBmatrixn\\i\endBmatrixF(i)\]
运用斯特林反演\[F(n)=\sum_i=0^n(-1)^n-i\beginbmatrixn\\i\endbmatrixG(i)\]
一般来说 \(G(n)\) 相对好求一些，那么我们就可以这么算 \(F(n)\) 了。

例题

[雅礼集训——方阵]
给出一个 \(n\times m\) 大小的矩形，每个位置可以填上 \([1,c]\) 中的任意一个数，要求填好后任意两行互不等价且任意两列互不等价，求方案数。
运用上述方法，把一行看作一个物品，则易知 \(G(i)=(c^i)^\underlinem\)。
斯特林反演后统计答案即可。分治NTT算第一类斯特林数并用多点求值算下降幂可以做到 \(O(nlog^2n)\)。