[egin{bmatrix} n \\ k end{bmatrix} =
( n - 1 ) egin{bmatrix} n - 1 \\ k end{bmatrix} +
egin{bmatrix} n - 1 \\ k - 1 end{bmatrix}.
]
第二类斯特林数： $ n $ 个元素分成 $ k $ 个非空集合的方案数，即：
[egin{Bmatrix} n \\ k end{Bmatrix} =
k egin{Bmatrix} n - 1 \\ k end{Bmatrix} +
egin{Bmatrix} n - 1 \\ k - 1 end{Bmatrix}.
]
下降幂与上升幂与斯特林反演
下降幂：
[x^{ underline{ n } } = x( x- 1 ) cdots ( x - n + 1 ).
]
上升幂：
[x^{ overline{ n } } = x( x + 1 ) cdots ( x + n - 1 ).
]
以下给出的公式不予证明（咕了）。
反转公式：
[sumlimits_{ i } egin{bmatrix} n \\ i end{bmatrix} egin{Bmatrix} i \\ m end{Bmatrix} ( -1 )^{ n - i } = [ n == m ] \\sumlimits_{ i } egin{Bmatrix} n \\ i end{Bmatrix} egin{bmatrix} i \\ m end{bmatrix} ( -1 )^{ n - i } = [ n == m ]
]
借助反转公式容易证明以下三个等式：
[egin{aligned}
x^{ underline{ n } } = sum_{ k = 0 }^{ n } (-1)^{ n - k } egin{bmatrix} n \\ k end{bmatrix} x^{ k }
& Longleftrightarrow x^{ n } = sum_{ k = 0 }^{ n } egin{Bmatrix} n \\ k end{Bmatrix} x^{ underline{ k } } x^{ overline{ n } } = sum_{ k = 0 }^{ n } egin{bmatrix} n \\ k end{bmatrix} x^{ k }
& Longleftrightarrow x^{ n } = sum_{ k = 0 }^{ n } (-1)^{ n - k } egin{Bmatrix} n \\ k end{Bmatrix} x^{ overline{ k } } x^{ overline{ n } } = sum_{ k = 0 }^{ n } L( n , k ) x^{ underline{ k } }
& Longleftrightarrow x^{ underline{ n } } = sum_{ k = 0 }^{ n } ( -1 )^{ n - k } L( n , k ) x^{ overline{ k } }
end{aligned}
]
其中 $ L( n , m ) = sumlimits_{ i } egin{bmatrix} n
ewline i end{bmatrix} egin{Bmatrix} i
ewline m end{Bmatrix} = inom{ n - 1 }{ m - 1 } frac{ n! }{ m! } $ 。
而且以上三种关系均可以扩展到任意的 $ f( n ) , g( n ) $ 。
快速求斯特林数的行/列
第一类斯特林数-行
众所周知的有
[x^{ overline{ n } } = sumlimits_{ k = 0 }^{n} egin{bmatrix} n \\ k end{bmatrix} x^{ k }
]
所以就是求 $ x^{ overline{ n } } $ 。
考虑倍增，每次相当于是由 $ f( x ) $ 求 $ f( x + m ) $ 。
设 $ a_{ i } = [ x^{ i } ] f( x ) $ ，有
[egin{aligned}
f( x + m ) &= sumlimits_{ i = 0 }^{ n } a_{ i } ( x + m )^{ i } &= sumlimits_{ i = 0 }^{ n } a_{ i } sumlimits_{ j = 0 }^{ i } x^{ j } m^{ i - j } inom{ i }{ j } &= sumlimits_{ j = 0 }^{ n } frac{ x^{ j } }{ j! } sumlimits_{ i = j }^{ n } i!a_{ i } frac{ m^{ i - j } }{ (i-j)! }
end{aligned}
]
把后面的 $ i!a_{ i } $ 反过来再卷积就好。
第一类斯特林数-列
生成函数。
强制环有标号，单个的EGF $ F( x ) = sumlimits_{ i = 1 } ( i - 1 )! frac{ x^{ i } }{ i! } $ 。
m个是 $ G( x ) = F^{ m }( x ) $ 。
快速幂之后除回去 $ m! $ 就好。
但注意由于 $ F( 0 ) $ 不能为 $ 0 $ ，所以要先平移计算完后在算回去。
第二类斯特林数-行
众所周知的有
[egin{aligned}
m^{ n } &= sumlimits_{ k = 0 }^{ n } egin{Bmatrix} n \\ k end{Bmatrix} m^{ underline{ k } } &= sumlimits_{ k = 0 }^{ n } egin{Bmatrix} n \\ k end{Bmatrix} inom{ m }{ k } k! &= sumlimits_{ k = 0 }^{ m } egin{Bmatrix} n \\ k end{Bmatrix} inom{ m }{ k } k! \\
end{aligned}
]
设
[f( m ) =m^{ n } , g(m) = egin{Bmatrix} n \\ m end{Bmatrix} m!
]
二项式反演变成
[egin{aligned}
egin{Bmatrix} n \\ m end{Bmatrix} m!
&= sumlimits_{ k = 0 }^{ m } inom{ m }{ k } k^{ n } ( -1 )^{ m - k } \\begin{Bmatrix} n \\ m end{Bmatrix}
&= sumlimits_{ k = 0 }^{ m } frac{ k^{ n } }{ k! } frac{ ( -1 )^{ m - k } }{ ( m - k )! }
end{aligned}
]