P2774 方格取数问题 网络流重温

Posted 2022-05-16 echozqn

P2774 方格取数问题

这个题目之前写过一次，现在重温还是感觉有点难，可能之前没有理解透彻。

这个题目要求取一定数量的数，并且这些数在方格里面不能相邻，问取完数之后和最大是多少。

这个很好的用了网络流的最大独立集。

根据位置把这些数分成了两个独立集，两个独立集的意思是这两个集合之间有关系，但是集合内部没有任何关系，

所以是两个独立集。

分成独立集之后，我们就要建图连边，这些都很好做，但是为什么答案就是  所有数之和-最小割 

因为当我们跑一次最小割之和是不是让这个图没有连接了，也就是这个图不是联通的，这样的话就是说明

每一个数和他相邻的位置就没有连边了，是不是就符合要求了？

我想让这个图不连通的最小代价是不是就是最小割，

就是我对这个图其中一些点进行了取舍，最后使得这个图不连通了，所以答案就是 所有数之和-最小割。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <queue>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#define inf 0x3f3f3f3f
#define inf64 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 4e3 + 10;
const int mod = 1e9 + 7;
struct edge 
    int u, v, c, f;
    edge(int u, int v, int c, int f) :u(u), v(v), c(c), f(f) 
;
vector<edge>e;
vector<int>G[maxn];
int level[maxn];//BFS分层，表示每个点的层数
int iter[maxn];//当前弧优化
int m;
void init(int n) 
    for (int i = 0; i <= n; i++)G[i].clear();
    e.clear();

void addedge(int u, int v, int c) 
    e.push_back(edge(u, v, c, 0));
    e.push_back(edge(v, u, 0, 0));
    m = e.size();
    G[u].push_back(m - 2);
    G[v].push_back(m - 1);

void BFS(int s)//预处理出level数组
//直接BFS到每个点

    memset(level, -1, sizeof(level));
    queue<int>q;
    level[s] = 0;
    q.push(s);
    while (!q.empty()) 
        int u = q.front();
        q.pop();
        for (int v = 0; v < G[u].size(); v++) 
            edge& now = e[G[u][v]];
            if (now.c > now.f && level[now.v] < 0) 
                level[now.v] = level[u] + 1;
                q.push(now.v);
            
        
    

int dfs(int u, int t, int f)//DFS寻找增广路

    if (u == t)return f;//已经到达源点，返回流量f
    for (int &v = iter[u]; v < G[u].size(); v++)
        //这里用iter数组表示每个点目前的弧，这是为了防止在一次寻找增广路的时候，对一些边多次遍历
        //在每次找增广路的时候，数组要清空
    
        edge &now = e[G[u][v]];
        if (now.c - now.f > 0 && level[u] < level[now.v])
            //now.c - now.f > 0表示这条路还未满
            //level[u] < level[now.v]表示这条路是最短路，一定到达下一层，这就是Dinic算法的思想
        
            int d = dfs(now.v, t, min(f, now.c - now.f));
            if (d > 0) 
                now.f += d;//正向边流量加d
                e[G[u][v] ^ 1].f -= d;
                //反向边减d，此处在存储边的时候两条反向边可以通过^操作直接找到
                return d;
            
        
    
    return 0;

int Maxflow(int s, int t) 
    int flow = 0;
    for (;;) 
        BFS(s);
        if (level[t] < 0)return flow;//残余网络中到达不了t，增广路不存在
        memset(iter, 0, sizeof(iter));//清空当前弧数组
        int f;//记录增广路的可增加的流量
        while ((f = dfs(s, t, inf)) > 0) 
            flow += f;
        
    
    return flow;


int main()

    int n, m;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    ll sum = 0;
    int s = 0, t = n * m + 1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    
        for(int j=1;j<=m;j++)
        
            int x;
            scanf("%d", &x);
            sum += x;
            if ((i + j) & 1) addedge((i - 1)*m + j, t, x);
            else addedge(s, (i - 1)*m + j, x);
        
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
    
        for(int j=1;j<=m;j++)
        
            if ((i + j) & 1) continue;
            if (i != 1) addedge((i - 1)*m + j, (i - 2)*m + j, inf);
            if (i != n) addedge((i - 1)*m + j, i*m + j, inf);
            if (j != 1) addedge((i - 1)*m + j, (i - 1)*m + j - 1, inf);
            if (j != m) addedge((i - 1)*m + j, (i - 1)*m + j + 1, inf);
        
    
    int ans = Maxflow(s, t);
    printf("%lld\n", sum - ans);
    return 0;

View Code