HDU 6155 Subsequence Count（矩阵 + DP + 线段树）题解

Posted 2022-04-26 kirinsb

题意：01串，操作1：把l r区间的0变1，1变0；操作2：求出l r区间的子序列种数

思路：设DP[i][j]为到i为止以j结尾的种数，假设j为0，那么dp[i][0] = dp[i - 1][1] + dp[i -1][0] （0结尾新串） + dp[i - 1][0] （0结尾旧串） - dp[i - 1][0] （重复） + 1（0本身被重复时去除）。

那么可以得到转移时的矩阵

$$ \left( \beginmatrix dp[i - 1][0] & dp[i - 1][1] & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \endmatrix \right) * \left( \beginmatrix 1 & 0 & 0 \\ 1 &1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \endmatrix \right)  =  \left( \beginmatrix dp[i][0] & dp[i][1] & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \endmatrix \right) $$

那么我们只要用线段树维护连续的矩阵乘积就行了。

如果翻转，那么存在一个规律，可以打表找出，直接实现连续区间矩阵乘积的翻转。

代码：

#include<cmath>
#include<set>
#include<map>
#include<queue>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstring>
#include <iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const int maxn = 1e5 + 5;
const int M = 50 + 5;
const ull seed = 131;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const ll MOD = 1000000007;
char str[maxn];
struct Mat
    ll s[3][3];
    void init()
        memset(s, 0, sizeof(s));
    
;
Mat Mamul(Mat a, Mat b)
    Mat ret;
    ret.init();
    for(int i = 0; i < 3; i++)
        for(int j = 0; j < 3; j++)
            for(int k = 0; k < 3; k++)
                ret.s[i][j] = (ret.s[i][j] + a.s[i][k] * b.s[k][j]) % MOD;
            
        
    
    return ret;

Mat mul[maxn << 2];
int lazy[maxn << 2];
void is(Mat &a, char s)
    if(s == ‘0‘)
        a.s[0][0] = 1, a.s[0][1] = 0, a.s[0][2] = 0;
        a.s[1][0] = 1, a.s[1][1] = 1, a.s[1][2] = 0;
        a.s[2][0] = 1, a.s[2][1] = 0, a.s[2][2] = 1;
    
    else
        a.s[0][0] = 1, a.s[0][1] = 1, a.s[0][2] = 0;
        a.s[1][0] = 0, a.s[1][1] = 1, a.s[1][2] = 0;
        a.s[2][0] = 0, a.s[2][1] = 1, a.s[2][2] = 1;
    

void change(Mat &a)
    swap(a.s[0][0], a.s[1][1]);
    swap(a.s[1][0], a.s[0][1]);
    swap(a.s[2][0], a.s[2][1]);

void pushdown(int rt)
    if(lazy[rt])
        lazy[rt << 1] ^= lazy[rt];
        lazy[rt << 1 | 1] ^= lazy[rt];
        change(mul[rt << 1]);
        change(mul[rt << 1 | 1]);
        lazy[rt] = 0;
    

void pushup(int rt)
    mul[rt] = Mamul(mul[rt << 1], mul[rt << 1 | 1]);

void build(int l, int r, int rt)
    lazy[rt] = 0;
    if(l == r)
        is(mul[rt], str[l]);
        return;
    
    int m = (l + r) >> 1;
    build(l, m, rt << 1);
    build(m + 1, r, rt << 1 | 1);
    pushup(rt);

void update(int L, int R, int l, int r, int rt)
    if(L <= l && R >= r)
        lazy[rt] ^= 1;
        change(mul[rt]);
        return;
    
    pushdown(rt);
    int m = (l + r) >> 1;
    if(L <= m)
        update(L, R, l, m, rt << 1);
    if(R > m)
        update(L, R, m + 1, r, rt << 1 | 1);
    pushup(rt);

Mat query(int L, int R, int l, int r, int rt)
    if(L <= l && R >= r)
        return mul[rt];
    
    pushdown(rt);
    int m = (l + r) >> 1;
    Mat ret;
    ret.init();
    for(int i = 0; i < 3; i++)
        ret.s[i][i] = 1;
    if(L <= m)
        ret = Mamul(ret, query(L, R, l, m, rt << 1));
    if(R > m)
        ret = Mamul(ret, query(L, R, m + 1, r, rt << 1 | 1));
    pushup(rt);
    return ret;

int main()
//    Mat a, b;
//    is(a, ‘0‘), is(b, ‘1‘);
//    a = Mamul(Mamul(Mamul(a, b), b), b);
//    for(int i = 0; i < 3; i++)
//        for(int j = 0; j < 3; j++)
//            printf("%d ", a.s[i][j]);
//        
//        puts("");
//    
//    printf("\n\n\n\n");
//
//    is(a, ‘1‘), is(b, ‘0‘);
//    a = Mamul(Mamul(Mamul(a, b), b), b);
//    for(int i = 0; i < 3; i++)
//        for(int j = 0; j < 3; j++)
//            printf("%d ", a.s[i][j]);
//        
//        puts("");
//    
//    printf("\n\n\n\n");
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while(T--)
        int n, q;
        scanf("%d%d", &n, &q);
        scanf("%s", str + 1);
        build(1, n, 1);
        while(q--)
            int op, l, r;
            scanf("%d%d%d", &op, &l, &r);
            if(op == 1)
                update(l, r, 1, n, 1);
            
            else
                Mat a;
                a.init();
                a.s[0][2] = 1;
                a = Mamul(a, query(l, r, 1, n, 1));
                ll ans = (a.s[0][0] + a.s[0][1]) % MOD;
                printf("%lld\n", ans);
            
        
    
    return 0;