wxy和zdy眼中的水题 地精部落 dp

Posted 2022-03-12 wang-hesong

题目描述

传说很久以前，大地上居住着一种神秘的生物：地精。 地精喜欢住在连绵不绝的山脉中。具体地说，一座长度为 N 的山脉 H可分 为从左到右的 N 段，每段有一个独一无二的高度 Hi，其中Hi是1到N 之间的正 整数。 如果一段山脉比所有与它相邻的山脉都高，则这段山脉是一个山峰。位于边 缘的山脉只有一段相邻的山脉，其他都有两段（即左边和右边）。 类似地，如果一段山脉比所有它相邻的山脉都低，则这段山脉是一个山谷。 地精们有一个共同的爱好——饮酒，酒馆可以设立在山谷之中。地精的酒馆 不论白天黑夜总是人声鼎沸，地精美酒的香味可以飘到方圆数里的地方。 地精还是一种非常警觉的生物，他们在每座山峰上都可以设立瞭望台，并轮 流担当瞭望工作，以确保在第一时间得知外敌的入侵。 地精们希望这N 段山脉每段都可以修建瞭望台或酒馆的其中之一，只有满足 这个条件的整座山脉才可能有地精居住。 现在你希望知道，长度为N 的可能有地精居住的山脉有多少种。两座山脉A 和B不同当且仅当存在一个 i，使得 Ai≠Bi。由于这个数目可能很大，你只对它 除以P的余数感兴趣。

输入格式

仅含一行，两个正整数 N, P。

输出格式

仅含一行，一个非负整数，表示你所求的答案对P取余 之后的结果。

样例

样例输入

4 7

样例输出

3

数据范围与提示

对于 20%的数据，满足 N≤10；
对于 40%的数据，满足 N≤18；
对于 70%的数据，满足 N≤550；
对于 100%的数据，满足 3≤N≤4200，P≤10910^910?9??

当时思路：当时看这个题，因为在组合数专题，所以一直想推式子，但是wxy说这是个非常简单的dp 但是没有想到;

做题题解：

1. 首先依题，这个题的状态很单一：1）要么 峰谷峰谷... 2）要么谷峰谷峰..
2. 由此可想到：当这个点为峰时，可由上一个点为谷转移过来;

且同时可以发现对于一个长度为i的山，有任意i个不同的数放到这个山上（不考虑其他因素）可以产生的方案数是一定的，这和Perm 排列计数是一样的;

         3.  而且对于每个2.中的方案数，使其不受约束的条件只有下一个点的高度，而又任意的i个数在方案中都符合，例如（4231和9 5 7 3）是一样的，所以只考虑排名，只要新增一个点后，这个点为峰的排名要比下一个谷排名靠前即可;

     4. 因此设f[i][j]表示只考虑i长度的山且最后一个是谷，且高度第j小的方案数;

设g[i][j]表示只考虑i长度的山且最后一个是峰，高度为第j小的方案数;

     5. 这样就可以两者相互转推 f[i][j]=∑（k（j to i-1））g[i-1][k];同理 g[i][j]=∑（k（1 to j-1））f[i-1][k];

　　 6.但是这样是N^3 的复杂度 ，wxy嘲讽我过不了;

　　7.其实可以用前缀和优化啊，就可以优化成N^2;

　　8.对了因为128M的内存，必须开滚动的

　　

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 int N,mod;
 4 int g[4700][2],f[4700][2],sg[4700],sf[4700];
 5 int main()
 6 
 7     scanf("%d%d",&N,&mod);
 8     g[1][1]=f[1][1]=1;
 9     int now=0;
10     for(int i=2;i<=N;++i,now^=1)
11         for(int j=1;j<=i-1;++j)f[j][now]=g[j][now]=sg[j]=sf[j]=0;
12         for(int j=1;j<=i;++j)
13             sg[j]=(sg[j-1]+g[j][now^1])%mod,sf[j]=(sf[j-1]+f[j][now^1])%mod;
14         for(int j=1;j<=i-1;++j)
15             f[j][now]=(f[j][now]+(sg[i-1]-sg[j-1]+mod)%mod)%mod;
16         
17         for(int j=2;j<=i;++j)
18             g[j][now]=(g[j][now]+(sf[j-1]+mod)%mod)%mod;
19         
20     
21     int ans=0;
22     for(int i=2;i<=N;++i)ans=(ans+g[i][now^1])%mod;
23     for(int i=1;i<=N-1;++i)ans=(ans+f[i][now^1])%mod;
24     printf("%d\n",ans%mod);
25