暑期学习日记——超快的素数筛选法（改进）

Posted 2022-02-20 xiangqi

素数筛选法：

最近发现了一个用bool数组去判断素数的方法，很强大，速度非常之快，方法是从大佬博客：https://www.cnblogs.com/wpnan/p/4073852.html 截下来的，可以看去看一下。

    素数筛法是这样的：
    1.开一个大的bool型数组prime[]，大小就是n+1就可以了.先把所有的下标为奇数的标为true,下标为偶数的标为false.
    2.然后：
      for( i=3; i<=sqrt(n); i+=2 )
         if(prime)
          for( j=i+i; j<=n; j+=i ) prime[j]=false;
      
    3.最后输出bool数组中的值为true的单元的下标，就是所求的n以内的素数了。
    原理很简单，就是当i是质(素)数的时候，i的所有的倍数必然是合数。如果i已经被判断不是质数了，那么再找到i后面的质数来把这个质
数的倍数筛掉。
    一个简单的筛素数的过程：n=30。
    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
   
    第 1 步过后2 4 ... 28 30这15个单元被标成false,其余为true。
    第 2 步开始：
     i=3;  由于prime[3]=true, 把prime[6], [9], [12], [15], [18], [21], [24], [27], [30]标为false.
     i=4;  由于prime[4]=false,不在继续筛法步骤。
     i=5;  由于prime[5]=true, 把prime[10],[15],[20],[25],[30]标为false.
     i=6>sqrt(30)算法结束。
    第 3 步把prime[]值为true的下标输出来：
     for(i=2; i<=30; i++)
     if(prime) printf("%d ",i);
    结果是 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29

 

内容非常清晰明了，利用bool数组去筛选也确实是普通判断素数方法的好几倍，不过观察了一下大佬的代码发现方法还可以有进一步改进，我先将大佬的原代码发上来：

 

 1 //用了筛法的方法：
 2 #include<stdio.h>
 3 #include<math.h>
 4 #define N 10000001
 5 bool prime[N];
 6 int main()
 7 
 8    int i, j;
 9    for(i=2; i<N; i++)
10   if(i%2) prime=false;
11   else prime=true;
12    for(i=3; i<=sqrt(N); i+=2)
13       if(prime)
14        for(j=i+i; j<N; j+=i)
15 
16             prime=false;
17    
18    for(i=2; i<100; i++)//由于输出将占用太多io时间，所以只输出2-100内的素数。可以把100改为N
19     if( prime )
20 
21          printf("%d ",i);
22    return 0;
23 

 

可以优化的有两个地方，第一是一开始就给bool数组分配了很大的不一定需要的空间，这样有时候是很占内存的，第二就是判断素数的时候可以用位运算去判断，位运算判断奇偶数的速度大概是i%2的4倍左右，改进后的代码如下：

 1 #include<iostream>
 2 #include<math.h>
 3 #include<conio.h>
 4 #include<malloc.h>
 5 using namespace std;
 6 
 7 int main(int argc, const char * argv[])
 8 
 9     int n;
10     cin >> n;
11     bool * num = (bool *)malloc((n + 1) * sizeof(bool));//如果需要判断n以内的素数，就直接分配n+1的空间，这样就可以节省很多内存。
12     for (int i = 2; i <= n ; i++)
13     
14         if (((1&i)==0) && (i!= 2) ) num[i] = false;//利用位运算判断奇偶
15         else num[i] = true;
16     
17     for (int i = 3; i <= sqrt(n); i += 2)
18     
19         if (num[i])
20             for (int j = i + i; j <= n; j += i)
21                 num[j] = false;
22     
23     for (int i = 2; i <= n; i++)
24         if (num[i] == true )cout << i << endl;
25     _getch();//不是在vs里面运行的不需要加这一行
26     return 0;
27 

 

大佬的思路是真的强，没看之前还真不知道可以利用bool数组去加快判断速度，还是有很多地方可以向大佬学习的！