树状数组求逆序对

Posted 2022-02-11 lfri

数值统计：任意给定一个集合$a$，如果用$t[val]$保存数值$val$在集合中出现的次数，那么数组$t$在$[l,r]$上的区间和（即$\sum_i=l^r t[i]$）就表示集合$a$中范围在$[l,r]$内的数有多少个。

    我们可以在集合$a$的数值范围上建立一个树状数组，来维护$t$的前缀和。这样即使在集合$a$中插入或删除一个数，也可以高效的进行统计。

    我们已知逆序对问题可以通过归并排序的方法求解，对于一个序列$a$，若$i < j$且$a[i] > a[j]$，则称$a[i]$与$a[j]$构成逆序对。利用上面数值统计的思路可以得到另一种解法：

1. 在序列$a$的数值范围上建立树状数组，初始化为全零。
2. 倒序扫描给定的序列$a$，对于每个数$a[i]$:

• • 在树状数组中查询前缀和$[1,a[i]-1]$，累加到答案$ans$中
  • 执行“单点增加”操作，即把位置$a[i]$上的数加1（相当于$t[a[i]]++$），同时正确维护$t$的前缀和。这表示数值$a[i]$又出现了1次。

核心代码：

 for(int i = n;i >=1;i--)
 
     ans += sum(a[i] - 1);
     add(a[i], 1);
 

    在这个算法中，因为是倒序扫描，“已经出现过的数”就是在$a[i]$后边的数，所以我们通过树状数组查询的内容就是“每个$a[i]$后边有多少个比它小”。每次查询的结果之和当然就是逆序对的个数。时间复杂度为$O((N+M)logM)$，$M$为数值范围的大小。

    当数值范围较大时，当然可以先进行离散化，再用树状数组进行计算。不过因为离散化本身就要通过排序来实现，所以在这种情况下就不如直接用归并排序来计算逆序对数了。