[LG1582] 倒水

Posted 2022-01-10 sshwy

分析

考虑 \(n\) 的二进制数下的 \(1\) 的个数为 \(bitcount(n)\) . 则 \(n\) 最少可以合并为 \(bitcount(n)\) 杯水.

如果 \(bitcount(n)>k\) ，则让 \(n\) 的最右端的 \(1\) 向左进位（有可能与左边的 \(1\) 合并，也可能只是单纯地把 1 的位置向左移动），即 \(n=n+lowbit(n)\) . 直到 \(bitcount(n)\leq k\) ，输出累加值即可。

计算 \(bitcount(n)\) ：

按位归并，将二进制位下 1 的个数依次归并为四，八，十六，三十二进制位。

具体来讲，类比八位二进制下 \((01011011)_2\) ：

• 将 1,3,5,7 位的数分别加至 2,4,6,8 位上： \((0011)_2+(1101)_2=(1112)_4\) .
• 将 1,3 位的数分别加至 2,4 位上： \((11)_4+(12)_4=(23)_8\) .
• 将 1 位的数加至 2 位上： \((2)_8+(3)_8=(5)_16=(5)_10=5\) .

同理，对于三十二位，则按位归并，按位相加（进制数为 \(2^i\) ，不用管进位的问题）至三十二进制数，再改为十进制即可。

事实上，在位上操作完之后，直接输出就是十进制结果。

代码实现

#include<cstdio>
using namespace std;
int n,k,ans;
int bitcount(int x)x=((x>>1)&0x55555555)+(x&0x55555555);
    x=((x>>2)&0x33333333)+(x&0x33333333);
    x=((x>>4)&0x0f0f0f0f)+(x&0x0f0f0f0f);
    x=((x>>8)&0x00ff00ff)+(x&0x00ff00ff);
    x=((x>>16)&0x0000ffff)+(x&0x0000ffff);
    return x;

int main()scanf("%d%d",&n,&k);
    while(bitcount(n)>k)ans+=n&(-n),n+=n&(-n);
    printf("%d",ans);
    return 0;