约瑟夫环（猴子问题）递归思路解法

Posted 2022-01-03 aibaofeng

　　　“约瑟夫环”是一个数学的应用问题：一群猴子排成一圈，按1,2,…,n依次编号。然后从第1只开始数，数到第m只,把它踢出圈，从它后面再开始数， 再数到第m只，在把它踢出去…，如此不停的进行下去， 直到最后只剩下一只猴子为止，那只猴子就叫做大王。要求编程模拟此过程，输入max、size, 输出最后那个大王的编号。

　　对于这个问题，可以这么解：每次有猴子出列后，就给所有猴子重新编号；首先第一个出列的猴子编号NO1=（size % max）==0 ? max : (size % max）(作判断是因为size%max=0的时候，size等于max，此时编号为0，显然编号是不会等于0的，此时的编号应该是max)，当第i个猴子出列后，那么从它下一个猴子开始，剩下的猴子它们的新编号应该是1,2,3.....max-1,原编号是i+1,i+2...i-1。并且，当只剩最后一只猴子的时候，此时它的新编号绝对是1； 通过观察可知，猴子的编号是与size有关的，如图下：max=6，size=3，括号里的是新编号

　　然后我们发现了一个现象，新编号和原编号的差的绝对值是size=3。也就是说，编号的变化是与size有关的。

 

 

　　然后我们可以归纳出，假设某个猴子的新编号是i，那么它原来的编号就是(i+size)%max,且当i+size=max时，这时它原先的编号应该为max；如新编号 i=1，原来的编号=（i+3）%6=4；i=3，新编号为i=3，原来的编号=（i+3）%6=0，则编号为6。

假如知道了还剩下某个猴子的当前编号为currentNo=x，那么该猴子上一轮的编号previousNo=(x+size)%previousMax（注意：这里的previousMax等于上一轮猴子的总数），且当(x+size)=max时，previousNo=max。

　　然后我们可以用到递归的思想，我们可以从只剩1个猴子开始推导，因为我们知道最后一只猴子的新编号绝对是1，然后一直获取它上一次的编号，直到previousMax等于原来的总数Max。

　　

代码：

public function yuesefu($max, $size)

    $index = 1;//猴子的原编号（从1开始），因为这个当只剩最后一只猴子的时候，它的编号一定为1.
    //i—>上一轮的总猴子数
    for ($i = 2; $i <= $max; $i++) 
　　　　　//每循环一次，就获取一次上一轮的编号，$i+1
        $index = ($index + $size) % $i;
　　　　　　//当编号和猴子总数相等，此时编号应该设置为总数
　　　　　if($index==0)
　　　　　　　　$index=$i;

　　　　　　
    
    return $index;//该剩下的猴子一开始的编号。