点分治

Posted 2022-01-01 guoshaoyang

 点分治

点分治是树上分治的一种（树上分治还有边分治），常用于解决和树上路径有关的问题。

因为树上路径有一条性质：树上的任何路径，要么经过根节点$rt$要么就全部在$rt$的一颗子树上。

正确性显而易见：树上两点的路径是唯一的，如果两点在$rt$的同一子树上，则路径完全在一颗子树上，如果在$rt$的不同子树，则必然经过$rt$。

有了这条性质，我们就可以对树上的路径进行分治：先将经过$rt$的路径处理完，此时$rt$的各个子树上的路径就互不影响了，故可以递归分治。

但怎么使得分治均匀呢？如果随意选择根节点，则如果树退化成链，则递归层数为$N$，且每次操作的节点数目都会非常多。

所以此时，我们选择树的重心，这样可以使每一次分治后剩下的最大子树的大小下降最快（重心的最大子树最小），每一次分治我们都找重心，操作本身复杂度为$O(NlogN)$，可以使分治底层执行次数降到$O(NlogN)$（主定理）。通常情况下，节点的子树超过$2$棵，则复杂度往往会低于$O(NlogN)$

void getrt(int x,int fa)
    siz[x]=1;
    maxs[x]=0;
    for(int i=head[x];i;i=nxt[i])
        if(fa==to[i]&&vis[to[i]])
            continue;
        getrt(to[i],x);
        siz[x]+=siz[to[i]];
        maxs[x]=max(maxs[x],siz[to[i]]);
    
    maxs[x]=max(maxs[x],sum-siz[x]);
    if(maxs[x]<maxs[rt])
        rt=x;

求树的重心代码（顺便更新根节点）

 

这有什么用呢？

举个例子，如果我们要统计一棵树内各个长度的路径的个数，就可以用点分治来做。

首先，我们将树的重心设为根，求出树上各点到根的距离($O(N)$)，并统计每个长度的路径的数量($O(N^2)$)，然后枚举每一个子树，递归执行同样的操作，并在同一个数组上统计数量