[SHOI2016]黑暗前的幻想乡

Posted 2021-12-14 mrclr

嘟嘟嘟


这题昨天看觉得没有思路，今天看了一眼觉得就是个水题。


首先如果不考虑每一个人只能选一条路的话，那就是求一张无向图（有重边，有自环）的生成树个数。这个直接用矩阵树定理+高斯消元求解行列式即可解决。
现在有了限制，怎么办？
容斥！
其实和[ZJOI2016]小星星这道题有点像。
想一下，如果一个公司修了两条路，那么一定会有一个公司哪条路都没修。所以我们容斥一下：每一个公司修一条路的方案数=至少有0个公司没有修路的方案数-至少有1个公司没修路+至少2个公司没修路-至少3个公司没修路……所以\\(O(2 ^n)\\)枚举没修路的公司，然后每一次用修路的公司构造基尔霍夫矩阵，然后高斯消元求解。
复杂度\\(O(2 ^ n * n ^ 3)\\)。实际上跑的很快。


写完后debug了一会儿，发现是因为邻接矩阵我都赋值成了1，实际上应该遇到一条边就+1。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cctype>
#include<vector>
#include<stack>
#include<queue>
#include<assert.h>
using namespace std;
#define enter puts("") 
#define space putchar(' ')
#define Mem(a, x) memset(a, x, sizeof(a))
#define In inline
typedef long long ll;
typedef double db;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const db eps = 1e-8;
const int maxn = 20;
const ll mod = 1e9 + 7;
In ll read()

  ll ans = 0;
  char ch = getchar(), last = ' ';
  while(!isdigit(ch)) last = ch, ch = getchar();
  while(isdigit(ch)) ans = (ans << 1) + (ans << 3) + ch - '0', ch = getchar();
  if(last == '-') ans = -ans;
  return ans;

In void write(ll x)

  if(x < 0) x = -x, putchar('-');
  if(x >= 10) write(x / 10);
  putchar(x % 10 + '0');

In void MYFILE()

#ifndef mrclr
  freopen(".in", "r", stdin);
  freopen(".out", "w", stdout);
#endif


int n;
int E[maxn][maxn * maxn][2], cnt[maxn];

In ll inc(ll a, ll b) return a + b < mod ? a + b : a + b - mod;
In ll quickpow(ll a, ll b)

  ll ret = 1;
  for(; b; b >>= 1, a = a * a % mod)
    if(b & 1) ret = ret * a % mod;
  return ret;


int A[maxn][maxn], D[maxn][maxn];
In void build(int pos)

  for(int i = 1; i <= cnt[pos]; ++i)
    
      int x = E[pos][i][0], y = E[pos][i][1];
      ++A[x][y]; ++A[y][x];
      ++D[x][x], ++D[y][y];
    


ll f[maxn][maxn];
In ll Gauss()

  int N = n - 1;
  for(int i = 1; i <= N; ++i)
    for(int j = 1; j <= N; ++j) f[i][j] = inc(D[i][j], mod - A[i][j]);
  for(int i = 1; i <= N; ++i)
    
      int pos = 0;
      for(int j = i; j <= N && !pos; ++j) if(f[i][j]) pos = j;
      if(!pos) return 0;
      if(pos ^ i) swap(f[i], f[pos]);
      ll inv = quickpow(f[i][i], mod - 2);
      for(int j = i + 1; j <= N; ++j)
        
          ll tp = f[j][i] * inv % mod;
          for(int k = i; k <= N; ++k) f[j][k] = inc(f[j][k], mod - tp * f[i][k] % mod);
        
    
  ll ans = 1;
  for(int i = 1; i <= N; ++i) ans = ans * f[i][i] % mod;
  return ans;


int main()

  MYFILE();
  n = read();
  for(int i = 1; i < n; ++i)
    
      cnt[i] = read();
      for(int j = 1; j <= cnt[i]; ++j) E[i][j][0] = read(), E[i][j][1] = read();
    
  ll ans = 0;
  for(int S = 0; S < (1 << (n - 1)); ++S)
    
      int cnt = n - 1;
      for(int i = 1; i < n; ++i)
        if((S >> (i - 1)) & 1) build(i), --cnt;
      ans = inc(ans, (cnt & 1) ? mod - Gauss() : Gauss());
      Mem(A, 0), Mem(D, 0);
    
  write(ans), enter;
  return 0;