浅谈贪心与动归

Posted 2021-12-13 lidasu

浅谈贪心与动归

初学时 想必都会对两者的认识有一些混淆
概念性质的就不赘述了
来谈谈我在刷题过程中对两者的见解（诚心接受各位的指正）
从搜索到贪心——求解算法的优化 这篇文章非常值得一看
P1478 陶陶摘苹果（升级版） 对应的oj题目

对比

贪心像是动归的一个特例
动归的核心在于：状态转移，找出那个转移方程
贪心的核心在于：局部选取最优解，并且选取的贪心策略不会影响到其他的状态

用01背包举个例子

在n件物品取出若干件放在空间为c的背包里，每件物品的体积为w1 w2...wn，与之相对应的价值为v1 v2...vn，最终使背包所装物品的总价值最高
代码如下，基本上大家都会写

int dp[i][j]; //dp[i][j] 表示取到第i个物品，背包容量为j
int pack01(int v[],int w[],int n,int c){ //value weight number capacity 
    for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=1;j<=c;++j){
            if(w[i]>j) dp[i][j]=dp[i-1][j];
            else dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i]);
        }
}
空间优化 一维
for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=c;j>=1;j--){ //注意从后往前
        if(w[i]<=j){ //二维变一维
            dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
        }
    }
更简洁
for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=c;j>=w[i];j--){
        dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
    }

但如果将v1 v2...vn这些每个物品对应的价值都变成1（v1=v2=...=vn=1）
这样一来，每个物品的价值都相同。无论你有多重，你的价值和别人都一样
很显然，我们只要把物品的重量进行排序，先拿轻的再拿重的，结果必然最优

动归加上一个特例 就这样成为了贪心可解决的题目
并且时间复杂度O(n)直接下降到排序的nlogn

再来举个更接地气的栗子

找纸币

基本上每个国家设计的货币都是符合贪心原则的
我国的纸币面额分别为：100元、50元、20元、10元、5元、2元、1元
当需要找钱给别人时，先找大面值的纸币再找小面值的，最后一定是纸币数量最少的

但如果面额是1元、5元、11元的纸币
当你找别人15元时，按照贪心规则，找的是一张11元和4张1元的，一共5张
而正确答案显而易见是3张5元的，一共3张
这就不符合贪心策略了，这时怎么来找到最少的？这就需要用到动归了

这其实是完全背包（每件物品可以取多次）的模板
必须把背包装满，即正好找出零钱，不多也不少（会影响初始化，文末见背包九讲）
每个物品价值 v[i]=1，并且不是总价值最大，而是纸币数量最小 max->min

int m[4]={0,1,5,11};
int dp[5][20]; //dp[i][j] i表示纸币种类，j表示找回的零钱
//转移方程 dp[i][j]=min(dp[i-1][j],dp[i][j-m[i]]+1);
#define inf 10000 //若背包则是-∞
//初始化
for(int i=0;i<=3;++i)
    for(int j=0;j<=15;++j){
        if(j==0) dp[i][j]=0;
        else dp[i][j]=inf;
    }

for(int i=1;i<=3;++i){
    for(int j=0;j<=15;++j){
        if(j>=m[i]) dp[i][j]=min(dp[i-1][j],dp[i][j-m[i]]+1);
        else dp[i][j]=dp[i-1][j];
        //请注意转移方程中dp[i][j-m[i]]+1里的[i]
        //而01背包是[i-1]，这是物品能否取多次的关键所在
    }
}
cout<<dp[3][15];

空间优化

int m[4]={0,1,5,11};
int dp[20];
#define inf 10000
for(int j=0;j<=15;++j){
    if(j==0) dp[j]=0;
    else dp[j]=inf;
}
for(int i=1;i<=3;++i){
    for(int j=m[i];j<=15;++j){
        dp[j]=min(dp[j],dp[j-m[i]]+1);
    }
}
cout<<dp[15];

如果是第一种问法，要求恰好装满背包，那么在初始化时除了 F[0] 为 0 ，其它
F[1..V ] 均设为 ?∞ ，这样就可以保证最终得到的 F[V ] 是一种恰好装满背包的最优解。
如果并没有要求必须把背包装满，而是只希望价格尽量大，初始化时应该将 F[0..V ]
全部设为 0 。
这是为什么呢？可以这样理解：初始化的 F 数组事实上就是在没有任何物品可以放
入背包时的合法状态。如果要求背包恰好装满，那么此时只有容量为 0 的背包可以在什
么也不装且价值为 0 的情况下被“恰好装满”，其它容量的背包均没有合法的解，属于
未定义的状态，应该被赋值为 -∞ 了。如果背包并非必须被装满，那么任何容量的背包
都有一个合法解“什么都不装”，这个解的价值为 0 ，所以初始时状态的值也就全部为 0
了。
取自《背包问题九讲》1.4 初始化的细节问题