01背包完全背包多重背包
Posted beixiaobei
tags:
篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了01背包完全背包多重背包相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
参考（都有些错误）：
https://github.com/guanjunjian/Interview-Summary/blob/master/notes/algorithms/%E7%BB%8F%E5%85%B8%E7%AE%97%E6%B3%95/01%E8%83%8C%E5%8C%85.md
https://blog.csdn.net/na_beginning/article/details/62884939
#include <iostream> #include <sstream> #include <vector> #include <string> using namespace std; /* 01背包问题 每个物品仅一个 状态转移公式:F[i][j] = F[i - 1][j] 和 F[i - 1][j - W[i]] + V[i] 大的那个值 C背包总重量 W每个物品重量 V每个物品价值 n物品总数 inp具有最大价值时，标记哪个物品在包中 返回最大价值 */ int packages(int C, vector<int> &W, vector<int> &V, int n, vector<int> &inp) { vector<vector<int> > F(n, vector<int>(C + 1));//F[i][j]记录背包可用重量为j时，前i个物品的最大价值 for (int i = 0; i < n; i++)//初始化表格 { for (int j = 0; j < F[0].size(); j++) F[i][j] = 0; } for (int j = 1; j < F[0].size(); j++)//初始化第一行 F[0][j] = (j < W[0]) ? 0 : V[0];//可用重量j大于物品重量，则装入该物品，加上该物品价值 for (int i = 1; i < n; i++) { for (int j = 1; j < F[0].size(); j++) { if (j < W[i]) F[i][j] = F[i - 1][j];//装不下该物品 else F[i][j] = (F[i - 1][j] < F[i - 1][j - W[i]] + V[i]) ? F[i - 1][j - W[i]] + V[i] : F[i - 1][j];//可装下该物品。状态转移方程 } } int result = F[n - 1][F[0].size() - 1];//最大价值 //inp标记哪些物品在包中 int j = C; for (int i = n-1; i >0 ; i--)//i不可为0，否则F[i-1]越界 { if (j>W[i] && F[i][j] == F[i - 1][j - W[i]] + V[i])//注意需要j>W[i] { inp[i] = 1; j -= W[i]; } } if (F[0][j] > 0)//如果背包还可装下，则包含第一个物品 inp[0] = 1; //输出动态规划数组 for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = 0; j < F[0].size(); j++) cout << F[i][j] << " "; cout << endl; } return result; } /* 01背包问题 滚动数组优化动态规划的空间 原空间OnC，先空间O2C，但是无法输出有哪些物品在包中 */ int packages_good(int C, vector<int> &W, vector<int> &V, int n) { vector<vector<int> > F(2, vector<int>(C + 1));//F[i][j]记录背包可用重量为j时，前i个物品的最大价值 for (int i = 0; i < 2; i++)//初始化表格 { for (int j = 0; j < F[0].size(); j++) F[i][j] = 0; } for (int j = 1; j < F[0].size(); j++)//初始化第一行 F[0][j] = (j < W[0]) ? 0 : V[0];//可用重量j大于物品重量，则装入该物品，加上该物品价值 int k = 0; for (int i = 1; i < n; i++) { k = i & 1;//滚动 for (int j = 1; j < F[0].size(); j++) { if (j < W[i]) F[k][j] = F[k ^ 1][j];//装不下该物品 else F[k][j] = (F[k ^ 1][j] < F[k ^ 1][j - W[i]] + V[i]) ? F[k ^ 1][j - W[i]] + V[i] : F[k ^ 1][j];//可装下该物品 } } return F[k][F[0].size() - 1];//最大价值 } /* 完全背包 每个物品不限制数量 状态转移公式:F[i][j] = F[i - 1][j] 和 F[i][j - W[i]] + V[i] 大的那个值，标记哪些物品在包中也改变 注意是F[i][j - W[i]] + V[i] 也可优化空间 */ int packages_full(int C, vector<int> &W, vector<int> &V, int n, vector<int> &inp) { vector<vector<int> > F(n, vector<int>(C + 1));//F[i][j]记录背包可用重量为j时，前i个物品的最大价值 for (int i = 0; i < n; i++)//初始化表格 { for (int j = 0; j < F[0].size(); j++) F[i][j] = 0; } for (int j = 1; j < F[0].size(); j++)//初始化第一行 F[0][j] = (j < W[0]) ? 0 : ((j/W[0])*V[0]);//每个物品不止一个 for (int i = 1; i < n; i++) { for (int j = 1; j < F[0].size(); j++) { if (j < W[i]) F[i][j] = F[i - 1][j];//装不下该物品 else F[i][j] = (F[i - 1][j] < F[i][j - W[i]] + V[i]) ? F[i][j - W[i]] + V[i] : F[i - 1][j];//可装下该物品。状态转移方程 } } int result = F[n - 1][F[0].size() - 1];//最大价值 //inp标记哪些物品在包中 int j = C; int i = n - 1; while (i) { while(j && j > W[i] && F[i][j] <= F[i][j - W[i]] + V[i]) //如果包含该物品，则一直循环看包含几个该物品 { inp[i]++; j -= W[i]; } i--;//不包含该物品，则跳到下一个物品 } //输出动态规划数组 for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = 0; j < F[0].size(); j++) cout << F[i][j] << " "; cout << endl; } return result; } /* 多重背包 每个物品有数量限制 */ int packages_multi(int C, vector<int> &W, vector<int> &V, int n, vector<int> &inp, vector<int> &N)//N会被修改 { vector<vector<int> > F(n, vector<int>(C + 1));//F[i][j]记录背包可用重量为j时，前i个物品的最大价值 for (int i = 0; i < n; i++)//初始化表格 { for (int j = 0; j < F[0].size(); j++) F[i][j] = 0; } for (int j = 1; j < F[0].size(); j++)//初始化第一行,每个物品有对应数量N限制 { int count = (N[0] > j / W[0]) ? j / W[0] : N[0];//可用空间为j时，可以放多少个当前物品，min{可放入数量,物品数量} F[0][j] = (j < W[0]) ? 0 : (count*V[0]); } for (int i = 1; i < n; i++) { for (int j = 1; j < F[0].size(); j++) { if (j < W[i]) F[i][j] = F[i - 1][j];//装不下该物品 else { int count = (N[i] > j / W[i]) ? j / W[i] : N[i]; F[i][j] = F[i - 1][j];//不放当前物品 for (int k = 1; k <= count; k++)//看放入多少个当前物品可以让F[i][j]最大 { int tmp = F[i - 1][j - k * W[i]] + k * V[i];//放入k个当前物品 if (tmp > F[i][j]) F[i][j] = tmp; } } } } int result = F[n - 1][F[0].size() - 1];//最大价值 cout << result << endl; //inp标记哪些物品在包中 int j = C; int i = n - 1; while (i) { while (j && N[i] && j > W[i] && F[i][j] <= F[i][j - W[i]] + V[i]) //如果包含该物品，则一直循环看包含几个该物品 { inp[i]++; j -= W[i]; --N[i]; } i--;//不包含该物品，则跳到下一个物品 } //输出动态规划数组 for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = 0; j < F[0].size(); j++) cout << F[i][j] << " "; cout << endl; } return result; } int main() { vector<int> W{ 4,5,6,2,2 }; vector<int> V{ 6,4,5,3,6 }; int C = 9; int n = W.size(); vector<int> inp(n, 0);//标记是否在包中 cout << "1、01背包最大总价值：" << packages(C, W, V, n, inp) << endl; cout << "在背包中的物品编号： "; for (int i = 0; i < inp.size(); i++) { if (inp[i] == 1) cout << i << " "; } cout << endl; cout << "2、01背包滚动数组优化最大总价值，无法输出有哪些物品在背包中：" << packages_good(C, W, V, n) << endl; cout << endl; vector<int> inp1(n, 0);//标记是否在包中 cout << "3、完全背包最大总价值：" << packages_full(C, W, V, n, inp1) << endl; cout << "输出在背包中物品： "; for (int i = 0; i < inp1.size(); i++) { cout << inp1[i] << " "; } cout << endl; cout << endl; vector<int> N{ 1,2,2,2,4 };//每个物品数量 vector<int> inp2(n, 0);//标记是否在包中 cout << "4、多重背包最大总价值：" << packages_multi(C, W, V, n, inp2, N) << endl; cout << "输出在背包中物品： "; for (int i = 0; i < inp2.size(); i++) { cout << inp2[i] << " "; } cout << endl; return 0; }
以上是关于01背包完全背包多重背包的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章