P3332 [ZJOI2013]K大数查询 整体二分

Posted 2021-12-02 maomao9173

终于入门整体二分了，勉勉强强算是搞懂了一个题目吧。

整体二分很多时候可以比较好的离线处理区间\(K\)大值的相关问题。考虑算法流程：

操作队列\(arr\)，其中有询问和修改两类操作。

每次在答案的可行值域上二分一个\(mid\)，把询问的答案\(>mid\)的分在\(R\)部，\(<=mid\)的分在\(L\)部。把修改的值\(>mid\)的分在\(R\)部，\(<=mid\)的分在\(L\)部。

何谓整体二分？就是直接一起二分所有的询问操作的答案，然后暴力扫描当前操作区间，将其划分为答案的左子区间与右子区间两个部分。

那么以什么为划分依据呢？看看这个操作对于左子区间有没有贡献。如果没有，那么就划分到右子区间中，然后将这个操作的权值更改为这个贡献减去所需的贡献，反之，则划分到左子区间中，同时将这个操作的贡献加入某一个容器，为询问操作服务。

这么说可能有点晕。就这道题说的话，应该是这样：

我们设尚未解决的操作区间为\([ql,qr]\),答案区间为[l,r][l,r],令当前答案为\(mid\)。

则若该操作是添加操作，如果其添加的\(C<=mid\)，这此次操作对于左子区间有贡献，加入左子区间中，并将区间线段树中的区间\([q[i].l,q[i].r]\)整体加\(1\).

反之，则将操作加入到右子区间中。

若该操作是询问操作，如果当前的\(mid\)在线段树中查询到的，比它大的数的个数\(query()>=q[i].k\)，则证明该询问操作应该在右子区间内可以找到答案。反之，则将\(q[i].k-=query()\)，减去此次查询的贡献，然后将询问操作添加到左子区间中。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

#define int long long
const int N = 50000 + 5;

struct Ask {
    int l, r, v, id, op;
    
    void read () {
        cin >> op >> l >> r >> v; 
    } 
    
}q[N], tl[N], tr[N];

int ans[N], tag[N << 2], clr[N << 2], sum[N << 2];

int n, m, Q;

#define lc (p << 1)
#define rc (p << 1 | 1)
#define mid ((l + r) >> 1)

void pushdown (int p, int l, int r) {
    if (clr[p]) {
        clr[p] = 0;
        tag[lc] = tag[rc] = 0;
        sum[lc] = sum[rc] = 0;
        clr[lc] = 1, clr[rc] = 1;
    }
    if (tag[p]) {
        tag[lc] += tag[p];
        tag[rc] += tag[p];
        sum[lc] += tag[p] * (mid - l + 1);
        sum[rc] += tag[p] * (r - mid);
        tag[p] = 0;
    }
}   
 
void push_up (int p) {
    sum[p] = sum[lc] + sum[rc];
} 
 
void modify (int ql, int qr, int w, int p = 1, int l = 1, int r = n) {
    if (ql <= l && r <= qr){
        tag[p] += w;
        sum[p] += w * (r - l + 1);
        return;
    }
    pushdown (p, l, r);
    if (ql <= mid) modify (ql, qr, w, lc, l, mid);
    if (mid < qr) modify (ql, qr, w, rc, mid + 1, r);
    push_up (p);
}

int query (int ql, int qr, int p = 1, int l = 1, int r = n) {
    if (ql <= l && r <= qr) {
        return sum[p];
    }
    int ret = 0; pushdown(p,l,r);
    if (ql <= mid) ret += query (ql, qr, lc, l, mid);
    if (mid < qr) ret += query (ql, qr, rc, mid + 1, r);
    return ret;
}

void solve (int st, int en, int l, int r) {
    // [st, en] -> 处理操作的左右端点
    // [l, r] -> 对应值域 
    if (l == r) {
        for (int i = st; i <= en; ++i) {
            if (q[i].op == 2) ans[q[i].id] = l; // 查询
        }
        return;  
    }
    int L = 0, R = 0;
    clr[1] = 1; tag[1] = sum[1] = 0;
    for (int i = st; i <= en; ++i) {
        if (q[i].op == 1){
            if (q[i].v > mid) { // > mid 的操作对于答案 <= mid 的询问不会影响 
                modify (q[i].l, q[i].r, 1);
                tr[++R] = q[i];
            } else {
                tl[++L] = q[i];
            }
        } else {
            int val = query (q[i].l, q[i].r);
            if (val < q[i].v){
                q[i].v -= val;
                tl[++L] = q[i]; // L部答案 <= mid 
            }else{
                tr[++R] = q[i]; // R部答案 >  mid 
            }
        }
    }
    for (int i = 1; i <= L; ++i) {
        q[st + i - 1] = tl[i];
    }
    for (int i = L + 1; i <= L + R; ++i) {
        q[st + i - 1] = tr[i - L];
    }
    solve (st, st + L - 1, l, mid);
    solve (st + L, en, mid + 1, r);
}

signed main () {
    cin >> n >> m; 
    for (int i = 1; i <= m; ++i) { 
        q[i].read ();
        if (q[i].op == 2) {
            q[i].id = ++Q;
        }
    }
    solve (1, m, -n, n);
    for (int i = 1; i <= Q; ++i) {
        cout << ans[i] << endl;
    }
}