[TJOI2019]唱跳rap和篮球

Posted 2021-11-29 asuldb

题目

套路题啊

发现正向计数不太好记，考虑容斥

考虑求至少有\(i\)段连续四个位置是不合法的，容斥系数显然是\((-1)^i\)

我们先选出这样的\(i\)段长度为\(4\)的区间来

我们考虑分配一下空格，问题就等价于把\(n-4i\)个空格分到\(i+1\)组里，插板一下就能知道答案是\(\binom{n-3i}{i}\)

考虑剩下的\(n-4i\)个空格，我们现在需要把这些空格填满

先来考虑一下这四种分别填了\(a,b,c,d\)个方案数是多少

这\(n-4i\)个位置直接去排列，是\((n-4i)!\)，同一个组内排列是没有意义的，于是需要除以\(a!\)，\(b!\) ，\(c!\)，\(d!\)

考虑构造多项式\(F(x)=\sum_{i=0}^n\frac{1}{i!}\)

对于这四个多项式，我们把长度分别定为\(a-i,b-i,c-i,d-i\)，把这四个多项式卷起来，第\(n-4i\)次项的系数就是答案了

于是我们\(ntt\)就能解决了，复杂度是\(O(n^2logn)\)

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define re register
#define LL long long
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
inline int read() {
    char c=getchar();int x=0;while(c<'0'||c>'9') c=getchar();
    while(c>='0'&&c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+c-48,c=getchar();return x;
}
const int mod=998244353;
const int G[2]={3,(mod+1)/3};
const int maxn=4096+5;
int len,rev[maxn],g[4][maxn];
int a,b,c,d,n,lim;
int fac[maxn],ifac[maxn],inv[maxn];
inline int ksm(int a,int b) {
    int S=1;
    while(b) {if(b&1) S=1ll*S*a%mod;b>>=1;a=1ll*a*a%mod;}
    return S;
}
inline void NTT(int *f,int o) {
    for(re int i=0;i<len;i++) if(i<rev[i]) std::swap(f[i],f[rev[i]]);
    for(re int i=2;i<=len;i<<=1) {
        int ln=i>>1,og1=ksm(G[o],(mod-1)/i);
        for(re int t,og=1,l=0;l<len;l+=i,og=1) 
            for(re int x=l;x<l+ln;++x) {
                t=1ll*f[x+ln]*og%mod;
                f[x+ln]=(f[x]-t+mod)%mod;
                f[x]=(f[x]+t)%mod;
                og=1ll*og*og1%mod;
            }
    }
    if(!o) return;
    int Inv=inv[len];
    for(re int i=0;i<len;i++) f[i]=1ll*f[i]*Inv%mod;
}
inline int C(int n,int m) {
    if(m>n) return 0;
    return 1ll*fac[n]*ifac[n-m]%mod*ifac[m]%mod;
}
inline int solve(int x) {
    memset(g,0,sizeof(g));
    for(re int i=0;i<=a-x;i++) g[0][i]=ifac[i];
    for(re int i=0;i<=b-x;i++) g[1][i]=ifac[i];
    for(re int i=0;i<=c-x;i++) g[2][i]=ifac[i];
    for(re int i=0;i<=d-x;i++) g[3][i]=ifac[i];
    len=1;while(len<=a+b+c+d-4*x) len<<=1;
    for(re int i=0;i<len;i++) rev[i]=rev[i>>1]>>1|((i&1)?len>>1:0);
    NTT(g[0],0),NTT(g[1],0);NTT(g[2],0),NTT(g[3],0);
    for(re int i=0;i<len;i++) g[0][i]=1ll*g[0][i]*g[1][i]%mod*g[2][i]%mod*g[3][i]%mod;
    NTT(g[0],1);return 1ll*g[0][n-4*x]*fac[n-4*x]%mod;
}
int main() {
    n=read(),a=read(),b=read(),c=read(),d=read();
    lim=min(a,b);lim=min(lim,c);lim=min(lim,d);
    lim=min(lim,n/4);
    fac[0]=ifac[0]=inv[1]=1;
    for(re int i=2;i<maxn;i++) inv[i]=1ll*(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
    for(re int i=1;i<maxn;i++) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
    for(re int i=1;i<maxn;i++) ifac[i]=1ll*ifac[i-1]*inv[i]%mod;
    int ans=0;
    for(re int i=0;i<=lim;i++) {
        int now=1ll*C(n-3*i,i)*solve(i)%mod;
        if(i&1) ans=(ans-now+mod)%mod;else ans=(ans+now)%mod;
    }
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}