基础算法——二分

Posted 2021-11-29 rfdragon

　　上次我们讲了贪心，上题：

题目描述：
RFdragon摘了n种果子，每种果子堆成一堆，现在RFdragon打算将所有果子运回家，因此决定将所有果子合并成一堆。每次RFdragon可以选择任意两堆果子进行合并，消耗等同于两堆果子质量之和的力气。请你求出一个合并方案，使得RFdragon消耗的力气最少。

输入描述：
第一行一个正整数n。
第二行n个正整数，表示每堆果子的质量。

输出描述：
一个正整数，表示消耗力气的最小值。

输入样例：
5
3 2 5 2 1

输出样例：
29

其他说明：
n<100000，所有数据均在int范围内。

　　今天我们要讲的是二分。设想这样一个场景：让你从1~100之间猜一个数，每次告诉你大了或者小了，要求尝试次数最少，你会猜几？想都不用想，肯定先猜50。这个时候，你已经在用二分的思想来解决问题了。二分主要分两种：二分查找和二分答案。我们先来看二分查找。我们直接来看一道题：

题目描述：
输入n个数，将n个数从小到大排序，问k排在第几。

输入描述：
第一行两个正整数n和k，中间用一个空格隔开。
第二行有n个正整数，中间有一个空格隔开。

输出描述：
一个正整数，表示k排在第几位。

输入样例：
5 7
7 3 5 6 9

输出样例：
4

其他说明：
n<1000000，所有输入数据均在int范围内，保证没有重复的数。

　　它要怎么用二分来实现呢？首先，不用说，肯定要将输入的所有书进行排序。那之后呢？我们还回到刚才猜数的例子。假设你猜了50，告诉你50小了，你就排除了1~50之间的所有数，范围变为51~100；你再猜75，假如75也小了，那你又排除了51~75之间的所有数，范围变为76~100。因此，我们需要两个数来记录数据的范围。我一般喜欢用head和tail进行表示，如下：

int head=1,tail=n;

　　head表示最小值，tail表示最大值。为什么tail要等于n呢？这是因为，n是数组中最大的数的下标，这个数再大，下标也不可能超过n。每次取一个中间值，表示我们“猜”的那个数。

mid=(head+tail)/2;
if(a[mid]>k)
    tail=mid-1;
else if(a[mid]<k)
    head=mid+1;
else
{
    printf("%d",mid);
    return 0;
}

　　这就是我们“猜”数并缩小范围的过程。掌握了核心代码，题就不难做了。完整代码如下：

#include<cstdio>
int n,k,a[1000000],head=1,tail,mid;
int main()
{
    scanf("%d %d",&n,&k);
    tail=n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    while(head<=tail)
    {
        mid=(head+tail)/2;
        if(a[mid]==k)
        {
            printf("%d",mid);
            return 0;
        }
        else if(a[mid]>k)
            tail=mid-1;
        else
            head=mid+1;
    }
    return 0;
} 

　　这就是二分查找。那么二分答案又是什么呢？有一些题中，答案很难被直接确定，需要先确定范围，然后在范围中逐渐尝试。用一般的查找方法自然很慢，但用二分来查找答案就快的多了。为了让大家更好理解二分答案，先上一道题：

题目描述：
RFdragon家里有一些废品，由于废品实在太多了，因此需要分批运走。黑心的收废品的叔叔为了盈利，不但不给钱，反而还向RFdragon索要工钱。RFdragon好心的同意了。
RFdragon会将所有的废品分成n批运走，运走每批废品都要花一定量的钱。由于叔叔很黑心，因此向RFdragon提出以下要求：RFdragon每天给叔叔k元钱，k是一个定值，叔叔会运走几批废品，但是这几批废品必须是连续的，并且每次必须将一整批全部运走；如果运走几批废品后钱有剩余，但不够运走下一批废品，那么剩下的钱会被叔叔收入腰包。由于忍受不了废品散发的味道，RFdragon要求运走所有废品的天数不能超过m天，并且k越小越好。请你帮他求出k的最小值。

输入描述：
第一行三个正整数，中间用空格隔开，分别表示n、m。
第二行有n个正整数，表示运走每批废品的价格。

输出描述：
一个正整数，表示k的最小值。

其他说明：
所有数据<10000。

　　首先，我们要确定二分范围。最小值一定是所有废品中花钱最多的那个，最大值一定是所有废品所花钱数之和。问题来了，我们每次确定一个mid值之后，如何判断这个mid值是否可以满足题意呢？我们不妨写一个check函数。

bool check(int x)//参数x表示假设k=x
{
    int cur=x,sum=1;//cur表示当前剩余钱数，sum表示运走所有废品所需天数 
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(cur>a[i])
            cur-=a[i];//假设剩余钱数能运走当前这批废品，就让叔叔运走他 
        else
        {
            cur=x-a[i]; 
            sum++;//否则就让叔叔（使用）明天（的钱）运走他
        }
    } 
    return sum<=m;
} 

　　完整代码如下：

#include<algorithm>
#include<cstdio>
using namespace std;
int n,m,a[10000];
bool check(int x)
{
    int cur=x,sum=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(cur>a[i])
            cur-=a[i];
        else
        {
            cur=x-a[i]; 
            sum++;
        }
    } 
    return sum<=m;
} 
int main()
{
    int head=0,tail=0,mid;
    scanf("%d %d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&a[i]);
        tail+=a[i];
        head=max(head,a[i]);
    }
    while(head<tail)
    {
        mid=(head+tail)/2;
        if(check(mid))
            tail=mid;
        else
            head=mid+1;
    }
    printf("%d",head);
    return 0;
}

　　这就是二分的用法，你学会了吗？

//答案代码 
#include<algorithm>
#include<cstdio>
using namespace std;
int n,a[10000],ans;
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    sort(a+1,a+1+n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        a[i]+=a[i-1];
        ans+=a[i];
    }
    printf("%d",ans);
    return 0;
}

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