基础算法-二分查找

Posted 2022-11-28 xiaoranone

基础算法-二分查找

二分查找算法是在实践中用的最多的算法之一。因为它简单易懂，效率很高，成为很多程序员的首选。之前我们也看到过很多关于二分查找的文章，例如你真的会二分查找吗？这个看似简单的算法，却有很多需要我们注意的地方，这里我们要思考:

1. 什么时候使用二分 ?
2. 怎么使用二分 ?
3. 二分为什么效率高？

二分查找

二分查找又名折办查找，是一种简单而且较有效的查找方法。要满足两点：循序结构存储，关键字有序排序。二分查找有很多版本，我一般使用两端闭区间的代码格式，(注意这很重要，建议使用自己喜欢的唯一一种方法，防止出错)。
给出我自己喜欢的格式:

// A 关键字有序，而且顺序存储
function binary_search(A, n, target, cmp):
    left = 0
    right = n - 1
    while left <= right:
        mid = (left + right) / 2
        if cmp(A[mid], target):
            left = mid + 1;
        else if not cmp(A[mid], target):
            right = mid - 1;
        else:
            return answer = A[mid]
    return unsucessful

什么时候使用

1. 是否是查找问题
2. 是否能够使用顺序查找
3. (结果区间)是否有序
4. 是否是顺序存储(即通过下标可以直接定位到对应的值)     
5. 怎么进行二分，这个看似简单，其实二分的关键

我们直接来看几个问题，分析是否满足这几个条件，当然有些简单的问题我们可以直接看出来是二分查找，还是希望从头分析，一起往能满足我们给出的四个规则。

1. 给定一个有序的整数数组A和一个值target，判断target是否在A中，如果存在返回对应的任意一个下标，否则返回-1.

有序，数组，判断是否存在(可以使用顺序查找)，结果区间是整数数组(有序)，这里我们只需要根据下标二分就行了。这就是我们最常用的二分查找的原型。

2. 有两个有序数组A(长度n)和B(长度m)，求这两个数组合并之后的中位数，中位数我们认为是有序数组的中间的数，median = S[(n+m) / 2], S是排序后的数组。

1. 可以直接看出来是查找问题
2. 能使用顺序查找，顺序扫描两个数组，直到k = (n+m)/2，就得到我们要的中位数
3. 结果区间是否有序，有序，我们可以假设有一个大数组是A+B排序后的结果
4. A和B都是顺序存储
5. 怎么进行二分，这里我们两个数组A和B同时二分，每次也是缩小一般查询区间。

A：[0, n-1], B: [0, m-1] 
mid_a = (left_a + right_a) / 2
mid_b = (left_b + right_b) / 2
if judge(A[mid_a], B[mid_b]): // A[mid_a] < B[mid_b]
    A: [mid_a+1, right_a]
    B: [left_b, mid_b-1]
else:
    A: [left_a, mid_a-1]
    B: [mid_b+1, right_b]
util left_a == right_a 
    return max(A[left_a], B[left_b])

3. 实现 int sqrt(int x) 函数，计算并返回 x 的平方根。

1. 查找问题，对应x = a * a, a属于[0, x]之间，即从[0, x]中查找a，是的a*a = x
2. 能否使用顺序查找，可以遍历for a in [0, x]: 直到满足条件
3. 结果区间是[0, x]有序
4. 结果区间有序存储，关键字就是结果
5. 根据结果区间[0, x]进行二分即可。

int sqrt(int x) 
    long long a=0,b=x;
    while(a < b)
        long long m = (a+b)/2;
        if(m*m == x) break;
        else if(m*m > x) b = m-1; //第一个judge(x)
        else a = m+1;
    
    if(b*b > x) b-=1;
    return b;

4. 原木切割

题目:有一些原木，现在想把这些木头切割成一些长度相同的小段木头，需要得到的小段的数目至少为 k。当然，我们希望得到的小段越长越好，你需要计算能够得到的小段木头的最大长度。
从这个问题中，我们很难想到二分查找问题，那就抽象这个问题，一些小木棒vector<int>, 小段木头的长度length, 一定满足0 < length <= max(vector<int>)。

1. 是查找问题，从0 < length <= max(vector<int>)找到最合适的长度满足条件，
2. 能够使用顺序查找，遍历所有的长度，判断是否满足条件
3. 结果区间[0, max(vector< int>)] 有序,而且顺序
4. 之后就可以堆结果区间进行二分查找即可,

下面的代码是典型的转换问题之后的二分查找的问题。

int cmp(vector<int> L, int k, int length)
    if(length == 0) return -1;
    int cnt = 0;
    for(int i = 0; i < L.size(); i ++)
        cnt += L[i] / length;
    
    if(cnt < k) return 0;
    if(cnt >= k) return 1; //长度短


int woodCut(vector<int> L, int k) 
    long long maxlen = 0, minlen = 0, midlen = 0;
    for(int i = 0; i < L.size(); i ++)
        if(maxlen < L[i]) maxlen = L[i];
    

    while(minlen <= maxlen)
        midlen = (maxlen + minlen) / 2;
        if(cmp(L, k, midlen) == 1)
            minlen = midlen + 1;
        
        else if(cmp(L, k, midlen) == 0)
            maxlen = midlen - 1;
        
        else
            break;
        
    
    return maxlen;

二分查找很简单，对于一些显而易见的问题，我们都能想到是二分查找的问题.但是有一些问题是需要我们进行抽象之后的才能看处理其本质。我们需要指出这里的有序和顺序是指结果区间有序，关键字一般都是我们需要问题的结果，不是去看这个题目给出的数组，例如题目4中我们没有关注给定的一些小木段，而是关注的结果区间的长度。

为什么有效

二分查找时间复杂度是O(logn)，几乎每一个人都知道，这里我们就来公式证明一下这个显而易见的结果。
根据二分的性质，

T(n) = T(n/2) + O(1)  
T(n/2) = T(n/4) + O(1)    
    .
    .
    .   
T(2) = T(1) + O(1)     
T(1) = O(1)

这里个高度是logn(底数是2)，因此 T(n) = O(1) * logn = O(logn)

总结:

浅谈二分到这里就结束了，正所谓纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。多想多练必不可少。

生活如此，问题不大。喵～