CF1088F Ehab and a weird weight formula

Posted 2021-11-28 miracevin

CF1088F Ehab and a weird weight formula 

推性质猜结论题

第一步转化，考虑把点的贡献加到边里：

$con=\sum (log_2(dis(a_u,a_b))\times min(a_u,a_v))+a_u+a_v$

然后一个结论：

一个点最多有一个相邻的点比它小

因为会连出一串，只能在唯一的最小值点结束

所以，以最小值为根，建出有根树，每个点的fa就是比它小的

整个树越往祖先权值越小

不妨再给边定向，令边的方向就是：$a_u>a_v,a_u->a_v$，

每个点只会连出去一条边，所以只用最小化：$(log_2(dis(a_u,a_v))+1)\times a_v$

发现，连出的边只会是往祖先连，否则dis会更大

而log_2是上去整，所以一定是$2^k$级祖先连过去最优！

注意如果不存在$2^k$级祖先，那么和$rt$也要试着连一连

 

#include<bits/stdc++.h>
#define reg register int
#define il inline
#define fi first
#define se second
#define mk(a,b) make_pair(a,b)
#define numb (ch^‘0‘)
#define pb push_back
#define solid const auto &
#define enter cout<<endl
#define pii pair<int,int>
using namespace std;
typedef long long ll;
template<class T>il void rd(T &x){
    char ch;x=0;bool fl=false;
    while(!isdigit(ch=getchar()))(ch==‘-‘)&&(fl=true);
    for(x=numb;isdigit(ch=getchar());x=x*10+numb);
    (fl==true)&&(x=-x);
}
template<class T>il void output(T x){if(x/10)output(x/10);putchar(x%10+‘0‘);}
template<class T>il void ot(T x){if(x<0) putchar(‘-‘),x=-x;output(x);putchar(‘ ‘);}
template<class T>il void prt(T a[],int st,int nd){for(reg i=st;i<=nd;++i) ot(a[i]);putchar(‘\n‘);}

namespace Miracle{
const int N=5e5+5;
const ll inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
ll ans;
int n;
struct node{
    int nxt,to;
}e[2*N];
int hd[N],cnt;
int a[N];
void add(int x,int y){
    e[++cnt].nxt=hd[x];
    e[cnt].to=y;
    hd[x]=cnt;
}
int fa[N][20];
int dfs(int x){
    for(reg i=hd[x];i;i=e[i].nxt){
        int y=e[i].to;
        if(y==fa[x][0]) continue;
        fa[y][0]=x;
        dfs(y);
    }
}
int main(){
    rd(n);
    int rt=0;
    for(reg i=1;i<=n;++i) {
        rd(a[i]);
        if(!rt||a[i]<a[rt]) rt=i;
    }
    int x,y;
    for(reg i=1;i<n;++i){
        rd(x);rd(y);add(x,y);add(y,x);
    }
    dfs(rt);
    for(reg j=1;j<=19;++j){
        for(reg i=1;i<=n;++i){
            fa[i][j]=fa[fa[i][j-1]][j-1];
        }
    }
    for(reg i=1;i<=n;++i){
        ll mi=inf;
        if(i==rt) continue;
        for(reg j=0;j<=19;++j){
            if(!fa[i][j]) {
                mi=min(mi,(ll)(j+1)*a[rt]);
                break;
            }
            mi=min(mi,(ll)(j+1)*a[fa[i][j]]);
        }
        ans+=mi+a[i];
    }
    ot(ans);
    return 0;
}

}
signed main(){
    Miracle::main();
    return 0;
}

/*
   Author: *Miracle*
*/

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