2016计蒜之道复赛 百度地图的实时路况 分治+Floyd

Posted 2021-11-28 clno1

题目链接：https://nanti.jisuanke.com/t/A1108

这道题还挺有意思的。让我对Floyd的了解又加深了一点。

首先我们重新审视Floyd这三重循环到底有什么用？第一层是枚举中间结点，第二三层是枚举路径起点和终点。那么是不是当第一层循环还没枚举到的点，此时的最短路就不会经过这这些点呢？

答案是肯定的。所以这道题也就可以做了。

题目是要求我们计算  第一层循环缺一个点的情况下  的所有最短路之和。我们当然可以枚举这个缺的点，那么时间复杂度是O(n^4)。不能接受。

那么我们可以反过来考虑不是缺点，而是考虑逐渐加点，逐渐加到缺一个点的情况然后更新答案。于是我们可以分治，分治的过程就是加点的过程。

solve(l,r)代表除了区间[l,r]的点其他点都加到最短路了，那么分治到l==r的时候就可以统计答案了。

时间复杂度O(n^2*logn)。细节详见代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=3e2+10;
const int INF=0x3f3f3f3f;
int n,a[N][N];
long long ans;

void solve(int l,int r) {
    if (l==r) {
        for (int i=1;i<=n;i++) for (int j=1;j<=n;j++)
            if (i!=l && j!=l) 
            if (a[i][j]>=INF) ans+=-1; else ans+=a[i][j];
        return;
    }
    int mid=l+r>>1; int b[N][N];
    memcpy(b,a,sizeof(a));
    for (int k=mid+1;k<=r;k++)
        for (int i=1;i<=n;i++)
            for (int j=1;j<=n;j++)
                 a[i][j]=min(a[i][j],a[i][k]+a[k][j]);
    solve(l,mid);
    
    memcpy(a,b,sizeof(b));
    for (int k=l;k<=mid;k++)
        for (int i=1;i<=n;i++)
            for (int j=1;j<=n;j++)
                a[i][j]=min(a[i][j],a[i][k]+a[k][j]);
    solve(mid+1,r);
}

int main()
{
    cin>>n;
    for (int i=1;i<=n;i++) for (int j=1;j<=n;j++) {
        scanf("%d",&a[i][j]);
        if (a[i][j]==-1) a[i][j]=INF;
    }
    solve(1,n);
    cout<<ans<<endl;;    
    return 0;
}