高斯消元小结

Posted 2021-11-27 encodetalker

这里只是丢了一个板子，毕竟高斯消元这个东西原理说起来很简单，就是模拟了普通人手工解方程的过程，还是直接上代码来的方便

一道模板题：luogu2455

（在这里不推荐luogu的模板题，数据过水，此题数据强度还可以需要适当的和精度搏斗）

主要提一下判断无解和无穷解的情况

一般的高斯消元是给出\(n\)个方程求\(n\)个未知数的解，但是有的时候会出现给出方程重复(\(x+y=2,2x+2y=4\))或者方程矛盾(\(x+y=2,2x+2y=2\))，这个时候我们进行高斯消元的话，最后的一个（或几个）方程会出现系数全部为\(0\)的情况，需要特殊处理

具体的，对于方程组中的某一方程\(k_1x_1+k_2x_2+\cdots+k_nx_n=y\)来说，若满足\(\forall i, k_i=0\)，那么就需要特殊处理

1）若\(y\neq 0\)，由于方程右边一定是\(0\)，而它等于一个非零数，于是这个方程无解

2）若\(y=0\)，方程也就是\(0=0\)，这说明\(x\)取任意值均成立，而高斯消元最后其实每一个方程对应着一个未知数，所以有几个这样的方程就说明未知数中有多少个自有元，它们无论取何值均满足方程，也就是这个方程有无穷解

几点注意

1）最好设一个\(eps\)，据说不设的话可以被卡

2）建议的处理方式是对于方程\(i\)仅保留含有\(x_i\)的那一项，方便最后判断无解和无穷解

#include<iostream>
#include<string.h>
#include<string>
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<math.h>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
using namespace std;
#define lowbit(x) (x)&(-x)
#define fir first
#define sec second
#define rep(i,a,b) for (register int i=a;i<=b;i++)
#define per(i,a,b) for (register int i=a;i>=b;i--)
#define maxd 1000000007
#define eps 1e-9
typedef long long ll;
const int N=100000;
const double pi=acos(-1.0);
int n;
double ans[110],a[110][110];

int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while ((ch<'0') || (ch>'9')) {if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while ((ch>='0') && (ch<='9')) {x=x*10+(ch-'0');ch=getchar();}
    return x*f;
}

double Fabs(double x)
{
    if (x>eps) return x;else return -x;
}

int main()
{
    n=read();
    rep(i,1,n)
    {
        rep(j,1,n+1) scanf("%lf",&a[i][j]);
    }
    rep(i,1,n)
    {
        int now=i;
        rep(j,i+1,n)
            if (Fabs(a[j][i])>Fabs(a[now][i])) now=j;
        if (now!=i) swap(a[now],a[i]);
        if (Fabs(a[i][i])<eps) continue;
        double div=a[i][i];
        rep(j,i,n+1) a[i][j]/=div;
        rep(j,1,n)
        {
            if (i==j) continue;
            div=a[j][i];
            rep(k,i,n+1) a[j][k]-=a[i][k]*div;
        }
    }
    bool nos=0,mors=0;
    rep(i,1,n)
    {
        int cnt=0;
        rep(j,1,n+1) cnt+=(Fabs(a[i][j])<eps);
        if ((cnt==n) && (Fabs(a[i][n+1])>eps)) nos=1;
        else if (cnt==n+1) mors=1; 
    }
    if (nos) puts("-1");
    else if (mors) puts("0");
    else
    {
        ans[n]=a[n][n+1];
        per(i,n-1,1)
        {
            ans[i]=a[i][n+1];
            rep(j,i+1,n) ans[i]-=a[i][j]*ans[j];
        }
        rep(i,1,n) 
            if (Fabs(ans[i])<=eps) printf("x%d=0\n",i);
            else printf("x%d=%.2lf\n",i,ans[i]);
    }
    return 0;
}