高斯消元总结

Posted 2021-02-04 bcoier

这里介绍的是高斯-约旦消元法。

相对于传统的高斯消元，约旦消元法的精度更好、代码更简单，没有回带的过程。

约旦消元法大致思路如下：

1.选择一个尚未被选过的未知数作为主元，选择一个包含这个主元的方程。

2.将这个方程主元的系数化为1。

3.通过加减消元，消掉其它方程中的这个未知数。

4.重复以上步骤，直到把所有式子变成形如:
a1+b0+c*0……=d

我们用矩阵表示每一项系数以及结果

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
#define re register
#define il inline
#define debug printf("Now is %d
",__LINE__);
using namespace std;
#define maxn 105
#define D double
D a[maxn][maxn];
int n;
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(re int i=1;i<=n;++i)
    {
        for(re int j=1;j<=n+1;++j)
        {
            scanf("%lf",&a[i][j]);
        }
    }
    for(re int i=1;i<=n;++i)//枚举列（项） 
    {
        re int max=i;
        for(re int j=i+1;j<=n;++j)//选出该列最大系数 
        {
            if(fabs(a[j][i])>fabs(a[max][i]))
            //fabs是取浮点数的绝对值的函数
            {
                max=j;
            }
        }
        for(re int j=1;j<=n+1;++j)//交换
        {
            swap(a[i][j],a[max][j]);
        }
        if(!a[i][i])//最大值等于0则说明该列都为0，肯定无解 
        {
            puts("No Solution");
            return 0;
        }
        for(re int j=1;j<=n;++j)//每一项都减去一个数（就是小学加减消元）
        {
            if(j!=i)
            {
                re D temp=a[j][i]/a[i][i];
                for(re int k=i+1;k<=n+1;++k)
                {
                    a[j][k]-=a[i][k]*temp;
                    //a[j][k]-=a[j][i]*a[i][k]/a[i][i];
                }
            }
        }
    }
    //上述操作结束后，矩阵会变成这样
    /*
    k1*a=e1
    k2*b=e2
    k3*c=e3
    k4*d=e4
    */
    //所以输出的结果要记得除以该项系数，消去常数
    for(re int i=1;i<=n;++i)
    {
        printf("%.2lf
",a[i][n+1]/a[i][i]);
    }
    return 0;
}