高斯消元总结

Posted 2020-10-20 zhoushuyu

这个东西很简单的，保证你一看就懂
我们现在有n个n元方程，每个形如
\[a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n=c\]
我们要解这个方程组

我们运用初中数学里面学的加减消元的方法
我们先拿第一个方程，把剩下的n-1个方程里面的\(x_1\)的系数全部消掉
然后剩下的n-1个方程就都没有\(x_1\)项了（或者说是前面的系数变成了0）
接着拿第二个方程，把剩下n-2个方程里面的\(x_2\)的系数全部消掉
然后剩下的n-2个方程就都没有\(x_2\)项了
以此类推。。。
最终会被消成一个倒三角（形象地来想，如果你把系数和常数项看作是一个\(n*(n+1)\)的矩阵的话，那么消完以后，矩阵的正对角线下方的数会全部变成0）
或者这么讲吧，消完之后，第i个方程的\(x_1\)～\(x_{i-1}\)的系数会全部变成0
（应该不难理解吧）
这时我们发现，第n个方程只剩下\(x_n\)了，即\(a_nx_n=c_n\)。所以我们就把它解出来，然后依次往上代入，就可以求解所有的n个\(x\)值了。

这里给出洛谷的模板题【模板】高斯消元法
以下代码中包含判无解的方法，请读者自行思考。

code

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 105;
int n;
double a[N][N],x[N];
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for (int i=1;i<=n;i++)
        for (int j=1;j<=n+1;j++)
            scanf("%lf",&a[i][j]);
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        if (a[i][i]==0) return puts("No solution"),0;
        for (int j=i+1;j<=n;j++)
            for (int k=n+1;k>=i;k--)
                a[j][k]-=a[i][k]*a[j][i]/a[i][i];
    }
    for (int i=n;i;i--)
    {
        x[i]=a[i][n+1];
        for (int j=n;j>i;j--) x[i]-=a[i][j]*x[j];
        x[i]/=a[i][i];
    }
    for (int i=1;i<=n;i++)
        printf("%.2lf\n",x[i]);
    return 0;
}