计算机起源的数学思想

Posted 2021-11-11 feng9exe

实际上在离散数学的学习中，我们已经了解到这样的一些人物，乔治.布尔,康托，哥德尔，图灵，冯诺依曼。而我们实际的离散数学的教学中，本身太注重于知识本身的学习，而忽略了知识是如何被发现产生出来，以及不同的知识之间曾经的渊源和启发关系。而对于启迪思想来说，后者显然更为有力。 

莱布尼茨之梦 

早在17世纪的莱布尼茨就有一个伟大的构想，他希望可以将人类的思维像代数运算那样符号化，规则化，从而让笨的人通过掌握这样的规则变得聪明，更进一步的制造出可以进行思维运算的机器，将人类从思考中解放。从莱布尼茨为微积分所确定的依然在今天被沿用的符号中，我们可以看出他对符号具有良好的感觉，通过选择良好的符号，可以大大的简化运算的复杂性，甚至将这样的运算变成一种天然的过程。除了构想之外，莱布尼茨本身为了发展一种逻辑演算也进行了很多尝试，他得到的一些结果已经具有后来布尔的逻辑代数的雏形。 

布尔的逻辑代数 

19世纪的布尔，将逻辑代数化，发展出了逻辑代数成为后来计算机内部运算的逻辑基础。 

在早期的研究中，布尔就已经认识到符号的力量，代数的力量正源于代表着量和运算的符号在几条基本规则的支配下体现出来的。后来，他开始思考能否将逻辑推理也像代数那样用符号和几条基本规则就可以完全表达。 

 

布尔的逻辑体系，不仅包含了亚里士多德的逻辑体系，而且还超越了它，但是仍有无法表达的情形： 
所有失败的学生或者是糊涂的或者是懒惰的。 

今天的布尔代数 

回到今天，我们再看布尔再把逻辑转变成代数的过程中，所产生的逻辑代数在今天的计算机中扮演着什么样的作用。布尔代数只有1和0两个元素，not and or三种运算，用几张真值表就可以表达清楚。

 

弗雷格的突破与绝望 

弗雷格的一生主要发表了这样三本著作：《概念演算--一种模仿算术语言构造的纯思维的符号语言》（1879）、《算术的基础--对数概念的逻辑数学研究》（1884）《算术的基本规律》（l卷 1893，2卷1903）。 

其中概念演算，将普通数学中的一切演绎推理都包含在内，成为第一个完备的逻辑体系。布尔以普通代数为基础，用代数符号来表示逻辑关系。与此相反，弗雷格想以他的逻辑为基础而把代数构造出来。实际上这成为日后一个重要的学派"逻辑主义",在他们看来逻辑与数学的关系就像一门学科的基本部分和高等部分之间的关系。 

弗雷格的逻辑体系，表现在今天就是我们数理逻辑中的命题演算和谓词演算(用数学的方法研究关于推理、证明等问题的学科就叫做数理逻辑。也叫做符号逻辑)。弗雷格第一次用精确的句法构造出形式化的人工语言，使得逻辑推理表示为机械演算即所谓的推理规则成为可能。从这个观点看，概念文字是我们今天使用的计算机程序设计语言的前身。 

弗雷格希望可以自然数提出一种纯粹逻辑的理论，从而证明算术，微积分乃至一切数学都可以看成逻辑的一个分支。于是弗雷格便希望可以用纯逻辑的术语来定义自然数，然后再用他的逻辑导出它们的性质。例如3这个数将被解释为逻辑的一部分。弗雷格的思想是把3定义为所有元素数为3的集合的集合。实际上这就是《算术的基础--对数概念的逻辑数学研究》这部著作的主要内容。 

然而正是这样的一些工作，1902年，年轻的伯特兰.罗素据此提出那个著名的罗素悖论。弗雷格的算术使用了集合的集合这样一种概念。罗素指出，用集合的集合进行推理很容易导致矛盾。罗素的悖论可以这样描述：如果一个集合是它自身的一个成员，那么就把集合成为异常的，否则它就是正常的。那么由所有正常集合组成的集合是正常还是异常的呢？ 

如果是正常的，那么它应该包含自身，这样它就应该是异常的。如果是异常的，那么它就不会包含自身，这样它就应该是正常的。无论哪个结果都导致了矛盾。实际上罗素构造这个悖论的方法，与之后哥德尔，图灵构造不可判定命题却有着神似的地方。然而这一矛盾却表明弗雷格构造的算术体系所基于的那些前提是靠不住的，并给弗雷格带来了巨大的打击。 

虽然弗雷格的逻辑已经很完备，但仍然具有一些局限性。他的规则并没有提供判定某个结论能否从给定的前提中推导出来的计算步骤。另外能否找到一种计算方法，它能够说明在弗雷格的逻辑中某一推理是正确的呢？其结果是这样一则证明：没有这样的一般方法存在。然而正是在证明这样一条否定性的结论过程中，阿兰图灵发现原则上可以设计出一种通用机，它可以执行任何可能的计算。

弗雷格的研究开启语言哲学的大门，后来人们在寻找证明逻辑推理正确性的过程中，图灵发现了通用机，也就是今天计算机的数学模型。

 

大卫 希尔伯特 

希尔伯特是20世纪的数学领袖，1900年他在数学家大会上指出的23个问题，其中第二个便是关于算术一致性的问题。即關於一個公理系統相容性的問題，也就是判定一個公理系統內的所命題是彼此相容無矛盾的，希爾伯特希望能以嚴謹的方式來證明任意公理系統內命題的相容性。 

希尔伯特纲领所提出的主要问题就是算术一致性问题。为了解决这个问题，希尔伯特发展出了元数学，一致性证明将在元数学内部完成。1928年，希尔伯特和他的学生阿克曼出版了一本逻辑课本，书中提出了关于弗雷格<<概念文字>>的基本逻辑(后来被称为一阶逻辑)两个主要问题，一个就是，证明一阶逻辑的完备性，即任何一个从外部看来有效的公式都可以只用课本里提出规则从系统内部导出。第二个问题以希尔伯特的判定问题而闻名，即对于一个一阶逻辑的公式，如果找到一种方法，可以在定义明确有限步骤内判定这个公式是有效的。这两个问题分别为哥德尔和图灵解决，而在解决第二个问题的过程中，图灵提出了图灵机的概念。 

后来在1928年的国际数学家大会上，希尔伯特又提出一个关于形式系统的问题，这个系统建立在把一阶逻辑应用于现在被称为皮亚诺算术或者PA的自然数公理系统的基础之上。希尔伯特希望可以证明PA是完备的，也就是说任何一个可以在PA中表出的命题或者可以在PA中被证明为真，或者可以被证明为假。两年后，这个问题被一个叫哥德尔的年轻人解决了，但答案却完全不像希尔伯特料想的那样。

 

https://www.douban.com/group/topic/8246901/