[模板] 各种莫队

Posted 2021-11-01 ubospica

简介

对于一些区间查询问题, 当询问与数组大小同阶时, 把询问按块排序, 可以得到均摊根号复杂度的算法.

普通莫队

不含修改, 单点加入/删除均较快 ( \\(O(1)\\) 或 \\(O(\\log n)\\) 等).

流程

1. 区间大小 \\(S = \\sqrt n\\)
2. 排序:
   • 按 \\((\\lceil \\frac lS \\rceil , r)\\) 二元组排序
3. 移动左右指针转移

复杂度 \\(O(n\\sqrt n)\\).

带修改莫队

可以单点较快修改.

流程

1. 区间大小 \\(S = n^{\\frac 23}\\)
2. 排序:
   • 将询问按 \\((\\lceil\\frac l S\\rceil, \\lceil\\frac r S\\rceil, t)\\) 三元组排序
   • 修改不需排序
3. 维护 \\(l,r,t\\) 三个指针转移

复杂度 \\(O(n^{\\frac 53})\\).

代码

struct tq{int l,r,t,id;}q[qsz];
struct tc{int p,v;}c[qsz];
bool cmp(tq l,tq r){return inb[l.l]!=inb[r.l]?inb[l.l]<inb[r.l]:inb[l.r]!=inb[r.r]?inb[l.r]<inb[r.r]:l.t<r.t;}

void solp(int p){
    //do sth
}
void solc(int p,int c){
    //do sth
}

void mo(){
    sort(q+1,q+pq+1,cmp);
    int t=0,l=1,r=0;
    rep(i,1,pq){
        while(t<q[i].t)++t,solc(c[t].p,c[t].t);
        while(t>q[i].t)solc(c[t].p,c[t].v),--t;
        
        while(l<q[i].l)solp(seq[l++]);
        while(l>q[i].l)solp(seq[--l]);
        while(r<q[i].r)solp(seq[++r]);
        while(r>q[i].r)solp(seq[r--]);
        ans[q[i].id]=ans0;//update ans
    }
}

树上莫队

序列变成树, 询问子树/链信息.

子树

转化成dfs序, 然后就变成区间信息了.

链

记录欧拉序, 即每个点入和出各记录一次,记为in(a), out(a).
考虑树上的一个链 \\([a,b]\\), 不妨设in(a)<=in(b).
当a, b都不在另一个的子树中时, 它等价于dfs序中的 \\([out(a), in(b)] + lca(a,b)\\) ,其中出现过两次的点不统计;
当b在a的子树中时, 它等价于dfs序中的 \\([in(a), in(b)]\\) ,其中出现过两次的点不统计.
这样就也转化为了区间信息, 细节可能有所不同.

或者王室联邦分块... 不会

代码/题目

luogu4074-[WC2013]糖果公园

只增莫队

有时插入复杂度较小, 但删除复杂度较大. 考虑只用插入实现.

流程

1. 分块 && 排序, 同普通莫队.
2. 若询问在一个块内, 直接暴力;
3. 对于其他询问: 枚举块 \\([L_s,R_s]\\), 处理左端点在该块内的询问:
   1. 起始左指针为 \\(R_s + 1\\), 右指针为 \\(R_s\\) ;
   2. 对于右指针, 根据排序, 同块内询问的右端点递增, 右移指针, 维护加入点即可;
   3. 对于左指针, 对于每个询问
      1. 保存当前的状态
      2. 维护左指针向左移动, 加入点
      3. 询问完成后恢复左指针到 \\(R_s + 1\\), 并恢复原来的状态.

容易发现时间复杂度仍为 \\(O(n\\sqrt n)\\).