HDU 1850 Nim-Sum思想总结

Posted 2020-06-12

算法介绍：

Nim游戏是指两个对手在m个堆中轮流随意从某一个堆中拿出n个元素，假定两个对手都是足够聪明，直至最后一次取的人将所有元素取出，此人取得胜利。与之相反的是Misere游戏，相同的游戏规则，但是最后一次取的人将落败。

为了解决这个问题，有一个叫做nim-sum的方法加以解决，这个方法是这样的

设有三个堆分别是 Heap A， Heap B，Heap C，每个堆分别有8,12,13个元素

1）将每个堆的元素使用二进制表示，分别是1000,1100,1101

2）对三个数进行异或操作，即：

1000
1100
1101
-------
1001

就是十进制的9，这个就是三个堆的nim-sum，如果nim-sum为0，则先手者不可能胜出

3）使用这个计算出来的nim-sum再次分别于三个堆中元素个数进行异或操作，如果得到异或的结果小于堆数则为可选的必胜的操作，即：

情况一：

1000
1001
-------
0001<1000，可以为必胜操作，此时先手者可以从Heap A中取出8(1000)-1(0001)=7个元素，则下一步的nim-sum为0，接下来的策略就是依照这个算法继续进行，模拟操作如下：

HeapA  HeapB  HeapC Nim-Sum

8              12           13             9           先手者从Heap A中拿出7个元素，使得下一步的nim-sum为0，则先手者胜出

1              12            13            0           后手者从Heap B中拿出5个元素

1               7             13            11          先手者从Heap C中取出13-(13^11)=7个元素

1               7               6              0         后手者从Heap B中取出5个元素

1               2               6              5         先手者从Heap C中取出6-(6^5)=3个元素

1               2               3             0          后手者从Heap C中取出3个元素

1               2               0             3          到这一步，如果是nim游戏，则在HeapB中取出1个元素（如果是misere游戏，则全取HeapB所有元素）

1               1               0             0          后手者取出HeapA中一个元素

0               1               0              1         先手者取出HeapB中最后一个元素，先手者胜出

情况二：

1100
1001
-------
0101<1100，可以为必胜操作，此时先手者可以从Heap B中取出12(1100)-5(0101)=7个元素

情况三：

1101
1001
-------
0100<1101，可以为必胜操作，此时先手者可以从Heap C中取出13(1101)-4(010)=9个元素

分析：

如上面8 12 13

对情况一，三个堆可分解为

HeapA    1    7

HeapB   12

HeapC   12   1

多出元素为HeapA中的7，取出后三个堆呈现对称分布

对情况二，三个堆可分解为

HeapA     8

HeapB     5      7

HeapC     5      8

多出元素为HeapB中的7，取出后三个堆呈现对称分布

对情况三，三个堆可分解为

HeapA    8

HeapB    8     4

HeapC    4     9

多出元素为HeapC中的9，取出后三个堆呈现对称分布

  

总结：

1.可以通过计算所有堆的nim-sum得出先手者是否可以取胜，如果不是0则可以，为0则不可以

2.可以用计算后的nim-sum分别与所有堆的元素进行异或操作，如果得到结果小于原来堆的元素，则为可选操作

 

以上分析来自：http://blog.csdn.net/lawrencesgj/article/details/7828935