题解报告：hdu 1850 Being a Good Boy in Spring Festival（尼姆博弈）

Posted 2020-11-09 霜雪千年

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1850

Problem Description

一年在外 父母时刻牵挂
春节回家 你能做几天好孩子吗
寒假里尝试做做下面的事情吧
陪妈妈逛一次菜场
悄悄给爸爸买个小礼物
主动地 强烈地 要求洗一次碗
某一天早起 给爸妈用心地做回早餐
如果愿意 你还可以和爸妈说
咱们玩个小游戏吧 ACM课上学的呢～
下面是一个二人小游戏：桌子上有M堆扑克牌；每堆牌的数量分别为Ni(i=1…M)；两人轮流进行；每走一步可以任意选择一堆并取走其中的任意张牌；桌子上的扑克全部取光，则游戏结束；最后一次取牌的人为胜者。
现在我们不想研究到底先手为胜还是为负，我只想问大家：
——“先手的人如果想赢，第一步有几种选择呢？”

Input

输入数据包含多个测试用例，每个测试用例占2行，首先一行包含一个整数M(1<M<=100)，表示扑克牌的堆数，紧接着一行包含M个整数Ni(1<=Ni<=1000000，i=1…M)，分别表示M堆扑克的数量。M为0则表示输入数据的结束。

Output

如果先手的人能赢，请输出他第一步可行的方案数，否则请输出0，每个实例的输出占一行。

Sample Input

3

5 7 9

0

Sample Output

1

解题思路：参考百度百科：尼姆博弈

典型的尼姆博弈，其模型为：有三堆（或M堆）各若干个物品，两个人轮流从某一堆取任意多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。这种情况最有意思，它与二进制有密切关系，我们用（a，b，c）表示某种局势，首先（0，0，0）显然是奇异局势，无论谁面对奇异局势，都必然失败。第二种奇异局势是（0，n，n），只要与对手拿走一样多的物品，最后都将导致（0，0，0）。仔细分析一下，（1，2，3）也是奇异局势，无论自己如何拿，接下来对手都可以将其变为（0，n，n）的情形。

计算机算法里面有一种叫做按位模2加，也叫做异或的运算，我们用符号（+）表示这种运算，先看（1，2，3）的按位模2加的结果：

1 =二进制01

2 =二进制10

3 =二进制11 （+）

———————

0 =二进制00 （注意不进位）

对于奇异局势（0，n，n）也一样，结果也是0。任何奇异局势（a，b，c）都有a（+）b（+）c =0。

如果我们面对的是一个非奇异局势（a，b，c），要如何变为奇异局势呢？假设 a < b< c,我们只要将 c 变为 a（+）b,即可,因为有如下的运算结果: a（+）b（+）(a（+）b)=(a（+）a)（+）(b（+）b)=0（+）0=0。要将c 变为a（+）b，只要从 c中减去 c-（a（+）b）（解题重点）即可。
例1：（14，21，39），14（+）21=27，39-27=12，所以从39中拿走12个物体即可达到奇异局势（14，21，27）。
例2：（55，81，121），55（+）81=102，121-102=19，所以从121中拿走19个物品就形成了奇异局势（55，81，102）。
例3：（29，45，58），29（+）45=48，58-48=10，从58中拿走10个，变为（29，45，48）。
例4：我们来实际进行一盘比赛看看：
甲7,8,9)->(1,8,9)奇异局势
乙1,8,9)->(1,8,4)
甲1,8,4)->(1,5,4)奇异局势
乙1,5,4)->(1,4,4)
甲1,4,4)->(0,4,4)奇异局势
乙0,4,4)->(0,4,2)
甲0.4,2)->(0,2,2)奇异局势
乙0,2,2)->(0,2,1)
甲0,2,1)->(0,1,1)奇异局势
乙0,1,1)->(0,1,0)
甲0,1,0)->(0,0,0)奇异局势
甲胜。结论：①a1^a2^......^an==0,则后手必赢；②若a1^a2^...^an!=0，一定存在某个合法的移动，将ai改变成ai‘后满足a1^a2^...^ai‘^...^an=0。若S=a1^a2^...^an，则一定存在某个ai，使得（S^ai<ai）一定成立，那么我们可以将ai改变成ai‘=ai^k，则a1^a2^...^ai‘^...^an=a1^a2^...^an^S=0，局面转化成①状态，则此时先手必赢。

AC代码：

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 const int maxn = 105;
 4 int m,ans,cnt,a[maxn];
 5 int main()
 6 {
 7     while(cin>>m && m){
 8         ans=cnt=0;
 9         for(int i=0;i<m;++i){
10             cin>>a[i];
11             ans^=a[i];
12         }//把所有数都异或起来，存在ans里面
13         for(int i=0;i<m;++i){
14             if((ans^a[i])<a[i])
15                 cnt++;
16         }//这里把ans跟a[i]异或，可以得到出a[i]外所有数异或的结果。此结果若小于a[i],则只要在a[i]中取出一定的值，就能形成奇异局势，先手将必赢
17         cout<<cnt<<endl;
18     }
19     return 0;
20 }