[SDOI2015]约数个数和

Posted 2021-02-09 Code_Kingdom

Description:

求$ \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} d(ij) $
其中\(d(x)\)表示\(x\)的约数个数

Hint:

\(数据组数<=1e4,n,m<=5e4\)

Solution:

首先有一个结论：

$d(ij)=\sum_{x|i} \sum_{y|j} [ gcd(x,y==1) ] $

接着就推式子：

$ Ans=\sum_{d}^{min(n,m)} \mu(d) \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} [d|gcd(i,j)] \lfloor \frac{n}{i}\rfloor \lfloor\frac{m}{i}\rfloor $

从枚举d转为，枚举d*i ，这一步很重要

$ Ans=\sum_{d}^{min(n,m)} \mu(d) \sum_{i=1}^{ \lfloor \frac{n}{d} \rfloor } \sum_{j=1}^{ \lfloor \frac{m}{d} \rfloor } \lfloor \frac{n}{d*i} \rfloor \lfloor \frac{m}{d*j} \rfloor $

先用整除分块预处理出 \(\sum \lfloor \frac{n}{i}\rfloor \lfloor\frac{m}{i}\rfloor\)

再用整除分块算答案

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mxn=5e4+5;
int T,n,m,tot,vis[mxn],mu[mxn],p[mxn];
ll sum[mxn],s[mxn];

void sieve(int lim)
{
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=lim;++i) {
        if(!vis[i]) mu[i]=-1,p[++tot]=i;
        for(int j=1;j<=tot,p[j]*i<=lim;++j) {
            vis[p[j]*i]=1;
            if(i%p[j]==0) {
                mu[p[j]*i]=0;
                break;
            }
            mu[p[j]*i]=-mu[i];
        }
    }
    for(int i=1;i<=lim;++i) sum[i]=sum[i-1]+mu[i];
    for(int i=1;i<=lim;++i) {
        for(int l=1,r;l<=i;l=r+1) {
            r=i/(i/l);
            s[i]+=1ll*(r-l+1)*(i/l); //预处理
        }
    }
}

int main()
{
    scanf("%d",&T);
    sieve(50000); int n,m;
    while(T--) {
        scanf("%d%d",&n,&m); 
        ll ans=0; if(n>m) swap(n,m);
        for(int l=1,r;l<=n;l=r+1) {
            r=min(n/(n/l),m/(m/l));
            ans+=1ll*(sum[r]-sum[l-1])*s[n/l]*s[m/l];
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }   
    return 0;
}