BZOJ 3994: [SDOI2015]约数个数和

Posted 2020-09-09 NeighThorn

莫比乌斯反演+分块...

3994: [SDOI2015]约数个数和

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Description

 设d(x)为x的约数个数，给定N、M，求  

 

 

Input

输入文件包含多组测试数据。

第一行，一个整数T，表示测试数据的组数。

接下来的T行，每行两个整数N、M。

 

Output

 T行，每行一个整数，表示你所求的答案。

 

Sample Input

2
7 4
5 6

Sample Output

110
121

HINT 

 1<=N, M<=50000

1<=T<=50000

Source

Round 1 感谢yts1999上传

分析：

首先$d(x)$是一个积性函数，其次这个东西有一个很神奇的性质：

$d(nm)=\\sum _{x\\mid n} \\sum _{y\\mid m} [gcd(x,y)==1]$

证明如下：(懒得写了...公式打起来好麻烦...直接摘抄Sengxian的解释...QwQ)

于是接下来就直接莫比乌斯反演就好了...

$\\sum _{x=1}^{n} \\sum _{y=1}^{m} \\left \\lfloor \\frac{n}{x} \\right \\rfloor \\left \\lfloor \\frac{m}{y} \\right \\rfloor \\sum _{d\\mid x  d\\mid y}\\mu (d)$

$=\\sum _{d=1}^{x} \\mu(d) \\sum _{i=1}^{\\frac {n}{d}} \\left \\lfloor \\frac{n}{id} \\right \\rfloor \\sum _{j=1}^{\\frac {m}{d}} \\left \\lfloor \\frac{m}{jd} \\right \\rfloor$

现在有一个有用的公式：

$\\left \\lfloor \\frac{n}{xy} \\right \\rfloor=\\left \\lfloor \\frac{ \\left \\lfloor \\frac{n}{x} \\right \\rfloor }{y} \\right \\rfloor$

于是乎，我们定义$f(x)=\\sum _{i=1}^{x} \\left \\lfloor \\frac{x}{i} \\right \\rfloor$，

那么式子就变成酱紫：

$\\sum _{d=1}^{n} \\mu(d) f(\\left \\lfloor \\frac{n}{d} \\right \\rfloor) f(\\left \\lfloor \\frac{m}{d} \\right \\rfloor)$

时间复杂度：$O(N\\sqrt{N}+T\\sqrt{N})$

代码：

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
//by NeighThorn
using namespace std;

const int maxn=50000+5;

int n,m,cas,cnt,mu[maxn],pri[maxn],vis[maxn];
long long ans,f[maxn];

inline long long calc(int x){
	long long res=0;
	for(int i=1,r;i<=x;i=r+1){
		r=x/(x/i);
		res+=(x/i)*(r-i+1);
	}
	return res;
}

inline void prework(void){
	mu[1]=1;
	for(int i=2;i<=50000;i++){
		if(!vis[i])
			vis[i]=1,pri[++cnt]=i,mu[i]=-1;
		for(int j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=50000;j++){
			vis[i*pri[j]]=1;
			if(i%pri[j]==0){
				mu[i*pri[j]]=0;break;
			}
			mu[i*pri[j]]=-mu[i];
		}
	}
	for(int i=1;i<=50000;i++) mu[i]+=mu[i-1],f[i]=calc(i);
}

signed main(void){
	scanf("%d",&cas);prework();
	while(cas--){
		scanf("%d%d",&n,&m);
		if(n>m) swap(n,m);ans=0;
		for(int i=1,r;i<=n;i=r+1){
			r=min(n/(n/i),m/(m/i));
			ans+=f[n/i]*f[m/i]*(mu[r]-mu[i-1]);
		}
		printf("%lld\\n",ans);
	}
	return 0;
}

　　

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By NeighThorn