完全数

Posted 2020-07-24

程序地址：http://www.cheemoedu.com/exercise/13

问题描述：

完全数（Perfect number)，又称完美数或完备数，是一些特殊的自然数。它所有的真因子(即除了自身以外的约数）的和（即因子函数），恰好等于它本身。例如，第一个完全数是6，它有约数1、2、3、6，除去它本身6外，其余3个数相加，1+2+3=6。第二个完全数是28，它有约数1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其余5个数相加，1+2+4+7+14=28。
编程求10000以内的完全数。

我的代码：

import datetime
starttime = datetime.datetime.now()
def perfect(n):
    m=[i for i in range(1,n/2+1) if n%i==0]
    if sum(m)==n:
        print n
for k in range(1,10000):
    perfect(k)
endtime = datetime.datetime.now()
print (endtime - starttime).seconds

我的思路：

首先定义一个求一个数的所有约数的函数(这个函数一定要尽量快速简单，否则计算100内的完全数还行，范围大一点的话就会奇慢无比),然后用for循环遍历即可；

之前淘汰的代码：

def perfect(n):
    a=[]
    for i in range(1,n+1):
        for j in range(n,0,-1):
            if i*j==n:
                a.append(i)
    a.pop()
    if sum(a)==n:
        print n
for k in xrange(1,10000):
    perfect(k)

思路其实很简单，实现起来也容易，但是想要很快速的显示完全数却是个不简单的任务，起初，我没觉得难(100以内的秒出)，可是范围增大到1000时，速度明显慢了很多，到10000时，等了10几分钟都没反应，后来我进行了优化，根据“完全数都是以6或8结尾(如果以8结尾，那么就肯定是以28结尾)”原理，将范围缩减到了1000多个数，可是还是很慢很慢，后来又根据“除6以外的完全数，它们被3除余1、9除余1、还有1/2被27除余1(百科上看的)”将范围缩减到了120多个，但是还是慢(长达14秒)，这才意识到是代码写的有问题，想来想去就写了最上面的那个，它的结果为：

E:\python\python.exe D:/pycharm/python/奇猫百题/完全数.py

6

28

496

8128

6    #运行时间为6秒

虽然计算10000以内的还算可以，但是在增加一个数量级又会很慢，没辙了，这时我所能想到的最快的方法了。

示例代码：

def isPerfectNumber(n):
    a = 1
    b = n
    s = 0
    while a < b:
        if n % a == 0:
            s += a + b
        a += 1
        b = n / a
    if a == b and a * b == n:
        s += a
    return s - n == n
for k in range(2, 10000):
    if isPerfectNumber(k):
        print k

代码分析：

示例代码的while循环是一边算传入数的约数，一边求其和，然后判断是否满足关系，满足的话就多加个a(两个约数相等且积为原数)，其次还要减去n(第一次循环时加上了b)，最后再返回完全数；

虽然a是递增的，但是b的范围几乎是折半的，而且比较的是a和b的大小，所以它每一个数循环的次数都很少，而且不用再另算总和，所以比我的要快，事实证明，在计算10000以内的完全数时几乎是秒出，而100000时才用了11秒，真的比我的要好很多。