部分背包问题的贪心算法正确性证明

Posted 2020-07-24 hapjin

一，部分背包问题介绍

首先介绍下0-1背包问题。假设一共有N件物品，第 i 件物品的价值为 V_i ，重量为W_i，一个小偷有一个最多只能装下重量为W的背包，他希望带走的物品越有价值越好，请问：他应该选择哪些物品？

0-1背包问题的特点是：对于某件（更适合的说法是：某类）物品，要么被带走（选择了它），要么不被带走（没有选择它），不存在只带走一部分的情况。

而部分背包问题则是：可以带走一部分。即，部分背包问题可带走的物品 是可以 无限细分的。（连续与离散的区别）

可以把0-1背包问题中的物品想象的一个金子，你要么把它带走，要么不带走它；而部分背包问题中的物品则是一堆金粉末，可以取任意部分的金粉末

 

二，部分背包问题的贪心算法

部分背包问题可以用贪心算法求解，且能够得到最优解。

贪心策略是什么呢？将物品按单位重量 所具有的价值排序。总是优先选择单位重量下价值最大的物品。

单位重量所具有的价值：V_i / W_i

举个例子：假设背包可容纳50Kg的重量，物品信息如下：

物品 i      重量(Kg)      价值           单位重量的价值

1             10          60                 6

2             20          100               5

3             30          120               4

按照我们的贪心策略，单位重量的价值排序： 物品1 > 物品2 > 物品3

因此，我们尽可能地多拿物品1，直到将物品1拿完之后，才去拿物品2.....

最终贪心选择的结果是这样的：物品1全部拿完，物品2也全部拿完，物品3拿走10Kg（只拿走了物品3的一部分！！！）

这种选择获得的价值是最大的。在（三）会给出证明。

而对于0-1背包问题，如果也按“优先选择单位重量下价值最大的物品”这个贪心策略，那么，在拿了物品1和物品2之后，就不能在拿物品3了。因为，在拿了物品1和物品2之后，背包中已经装了10+20=30Kg的物品了，已经装不下物品3了（50-30 < 30）（0-1背包：一件物品要么拿，要么不拿，否能只拿一部分）,此时得到的总价值是 160。而如果拿物品2和物品3，得到的价值为220。这说明，该贪心策略对0-1背包问题，不能求得最优解。

 

三，部分背包问题的贪心策略的正确性证明

贪心策略是：总是优先选择单位重量下价值最大的物品

正确性证明 是：使用该贪心策略，可以获得最优解。在这里，最优解就是带走的物品价值最大。

证明思路：先考察一个全局最优解，然后对该解加以修改(一般是采用“剪枝”技巧)，使其采用贪心选择，这个选择将原问题变成一个相似的、但是更小的问题。

先假设 物品集合S={W₁，W_2....Wn}已经按 单位重量价值从小到大排好序了。

并假设 一个全局最优解是：S(i)={W_i1，W_i2，.....W_in}。W_i1，W_i2，.....W_in是有序的。对于贪心选择而言，总是会优先 选择 W_n 的物品，当W_n 没有后，再选择W_n-1 .....

如果W_in = W_n 问题已经得证。因为，我们的最优解S(i)中，已经包含了贪心选择。只要继续归纳下去，W_i(n-1) 就是 W_n-1 ....

如果W_in != W_n 运用剪枝技巧，剪掉Win 并 贴上 W_n  此时，得到的是一个更优的解(因为价值更大了 ，W_n > W_in)。因为，W_n 是单位重量价值最高的那个物品啊，我们的贪心选择应该选择它，但是这里的最优解S(i)却没有选择它，于是我们用剪枝技巧，将它加入到S(i)中去，并把S(i)中的W_in除去。  

这就证明了，如果用贪心策略来进行选择，得到的是最优解。从而证明了贪心算法的正确性。

其实，也就是证明了一定存在一个最优解，这个最优解就是由贪心选择组成的。

 

四，参考资料

 从 活动选择问题 看动态规划和贪心算法的区别与联系 文章中讲到的 “活动选择问题”的贪心策略的正确性证明。二者证明思路基本一致。

http://www.cnblogs.com/hapjin/p/5573419.html

 

某种 找换硬币问题的贪心算法的正确性证明