c语言:实现对于给定的正整数N,依次打印出小于等于N的所有素数。两种方法及其优化
Posted
tags:
篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了c语言:实现对于给定的正整数N,依次打印出小于等于N的所有素数。两种方法及其优化相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
请编写一个程序,实现对于给定的正整数N,依次打印出小于等于N的所有素数。
方法一:试除法
由素数的定义得到如下程序:
#include<stdio.h>
int print_prime(int num)//prime表示素数
{
int i = 0;
for (i = 2; i <= num; i++)
{
int j = 0;
for (j = 2; j < i; j++)
{
if (i%j == 0)
{
break;
}
}
if (i==j)
{
printf("%d\t",i);
}
}
}
int main()
{
int num;
printf("请输入一个正整数:");
scanf("%d", &num);
if (num > 1)
{
printf("打印出所有的素数:");
print_prime(num);
}
else
{
printf("不存在小于等于%d的素数", num);
}
printf("\n");
return 0;
}
上面的代码中,在判断素数时一直从2试除到n-1。这里从n/2之后的数到n-1的试除显然是多余的,比如正整数7不能被2整除,必然不能被4,6整除。
优化1:
试除的范围优化到[2,n/2],则工作量减少一半,代码如下:
int print_prime(int num)//prime表示素数
{
int i = 0;
for (i = 2; i <= num; i++)
{
int j = 0;
for (j = 2; j <= i/2; j++)//修改部分
{
if (i%j == 0)
{
break;
}
}
if (j == (i/2+1))//修改部分
{
printf("%d\t", i);
}
}
}
既然能将试除范围优化到[2,n/2],那么这个范围是不是还能继续优化呢?答案是肯定的,在[2,n/2]这个范围里(√n,n/2]的试除也是多余的。因为因数是成对出现的,如16可分解为:1和16 、2和8、4和4、8和2、16和1。这些因数里必然有一个小于等于4。故只需试除小于等于√n的数就可以了。
优化2:
试除范围优化为[2,√n],代码如下:
#include<stdio.h>
#include<math.h>//修改部分
int print_prime(int num)//prime表示素数
{
int i = 0;
for (i = 2; i <= num; i++)
{
int j = 0;
for (j = 2; j <=sqrt(i); j++)//修改部分
{
if (i%j == 0)
{
break;
}
}
if (j > sqrt(i))//修改部分
{
printf("%d\t", i);
}
}
}
上面所有的代码在找素数的时候是从2到n,在这个范围内除了2之外的偶数都不是素数,所以可以跳过这些偶数。
还有试除范围内除了2之外的偶数也是没有必要的,因为如果不能被2整除,必然不能被大于2的偶数整除。
优化3:
寻找素数时和试除范围内跳过除2之外的偶数。代码如下:
int print_prime(int num)//prime表示素数
{
int i = 0;
printf("%d\t", 2);//修改部分
for (i = 3; i <= num; i+=2)//修改部分
{
int j = 2;
for (j = 3; j <= sqrt(i); j+=2)//修改部分
{
if (i%j == 0)
{
break;
}
}
if (j > sqrt(i))
{
printf("%d\t", i);
}
}
}
在上面的代码中,试除范围内的一些数也是不必要的。比如判断101是否为素数时,要分别试除小于10的2和所有奇数,即2、3、5、7、9,其中对9的试除是不必要的。即对所有的非素数的试除是不必要的,因为非素数必然可分解为比它小的素数的乘积,既然它的质因数不能整除某个数,这个数必然也不能。故试除的范围可缩小到小于等于√n的所有素数。
优化4:
只试小于√n的素数,那么问题来了,要试除这些素数时必然要将前面求出的素数保存起来,开辟多大一块空间合适呢?因为n的大小未知,所以无法确定开辟多少空间。这里暂时没有完全解决的办法,我的做法是先开辟大小为1000的空间,需要时再修改。
#include<stdio.h>
#include<math.h>
#define MAX 1000 //定义数组的大小
int print_prime(int num)//prime表示素数
{
int arr[MAX] = { 0 };
int i = 0,j=1;
printf("%d\t", 2);
arr[0] = 2;
for (i = 3; i <= num; i += 2)
{
int k = 0;
while (arr[k]>0&&arr[k]<=sqrt(i))
{
if (i%arr[k] == 0)
{
break;
}
k++;
}
if (!arr[k]||(arr[k] > sqrt(i)))
{
printf("%d\t", i);
arr[j] = i;
j++;
}
}
}
int main()
{
int num;
printf("请输入一个正整数:");
scanf("%d",&num);
if (num > 1)
{
printf("打印出所有的素数:");
print_prime(num);
}
else
{
printf("不存在小于等于%d的素数",num);
}
printf("\n");
return 0;
}
方法二:筛选法
这种方法求素数的思想就是,不断筛去最小的数的倍数。这个最小的数必然是素数。
比如最小的素数是2,去掉所有2的倍数;接下来最小的数是3,3就是素数,去掉所有的3的倍数;依次类推,直到最小的数小于等于√n为止。为什么是√n呢? 在上面的试除法中讲到只要试除小于等于√n的所有素数即可判断出小于等于n的所有素数,这里同样适用,只要去掉所有的小于等于√n的所有数的倍数,剩下的数就是小于等于n的所有素数。
代码如下:
#include<stdio.h>
#include<math.h>
#define MAX 1000 //定义数组的大小
int print_prime(int num)//prime表示素数
{
int arr[MAX] ;
int i = 0,j=0;
for (i = 0; i < num - 2; i++)//初始化数组[2,num]
{
arr[i] = i + 2;
}
while (arr[j]<=sqrt(num))//除数的范围
{
for (i = j + 1; i < num - 1; i++)
{
if (arr[i]%arr[j] ==0)//筛去arr[i]的倍数
{
arr[i] = 0;
}
}
j++;
while(!arr[j])//确定最小数
{
j++;
}
}
for (i = 0; i < num - 1; i++)
{
if (arr[i])
{
printf("%d\t",arr[i]);
}
}
}
int main()
{
int num;
printf("请输入一个正整数:");
scanf("%d",&num);
if (num > 1)
{
printf("打印出所有的素数:");
print_prime(num);
}
else
{
printf("不存在小于等于%d的素数",num);
}
printf("\n");
return 0;
}
上面的代码有一个很明显的缺陷就是开辟空间过大,如何来解决这个问题呢?
上述代码所开辟的空间为int型,占用4个字节,占用空间太多,可以构造一个bool型数组,bool型是一个基本的数据类型,占1个字节,以下标来存储数据,节省了75%的空间。
优化:
构造bool型数组,以下标来存储数据,每个数只占一个字节。
代码如下:
#include<stdio.h>
#include<stdbool.h>
#include<math.h>
#define MAX 1000 //定义数组的大小
void print_prime(int num)//prime表示素数
{
bool arr[MAX] ;
int i = 0,j=2;
for (i = 0; i <num ; i++)//初始化数组为真
{
arr[i] = 1;
}
while (arr[j]<=sqrt(num))//除数的范围
{
for (i = j + 1; i <= num ; i++)
{
if (i%j ==0)//筛去arr[i]的倍数
{
arr[i] = 0;
}
}
j++;
while(!arr[j])//确定最小数
{
j++;
}
}
for (i = 2; i <=num ; i++)//打印素数
{
if (arr[i])
{
printf("%d\t",i);
}
}
}
int main()
{
int num;
printf("请输入一个正整数:");
scanf("%d",&num);
if (num > 1)
{
printf("打印出所有的素数:");
print_prime(num);
}
else
{
printf("不存在小于等于%d的素数",num);
}
printf("\n");
return 0;
}
结果1:
请输入一个正整数:9
打印出所有的素数:2 3 5 7
请按任意键继续. . .
结果2:
请输入一个正整数:1
不存在小于等于1的素数
请按任意键继续. . .
本文出自 “岩枭” 博客,请务必保留此出处http://yaoyaolx.blog.51cto.com/10732111/1740043
以上是关于c语言:实现对于给定的正整数N,依次打印出小于等于N的所有素数。两种方法及其优化的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章