图的深度优先搜索及拓扑排序

Posted 2020-07-19 GuityCrown

本文将介绍图的深度优先搜索，并实现基于深度优先搜索的拓扑排序（拓扑排序适用于有向无环图，下面详细介绍）。

1. 图的深度优先遍历要解决的问题

图的深度优先搜索与树的深度优先搜索类似，但是对图进行深度优先搜索要解决一个问题，那就是顶点的重复访问，假设图中存在一个环路A-B-C-A，那么对顶点A进行展开后得到B，对B进行展开后得到C，然后对C进行展开后得到A，然后A就被重复访问了。。。

这显然是不对的！我们需要用一个状态变量来记录一个顶点被访问和被展开的状态。在《算法导论》中，作者使用3种颜色来对此进行标记：WHITE——顶点还没被访问过，GRAY——顶点已经被访问过但是其子结点还没被访问完，BLACK——顶点已经被访问过而且其子结点已经被访问完了。

2. 用栈实现图的深度优先遍历

在《算法导论》中，作者使用了递归来实现深度优先遍历。虽然递归写起来更加简洁而且容易理解，但是我并不建议在实际工程中这样做，除非你的问题规模比较小。否则递归会让你的程序万劫不复。正如使用队列实现广度优先搜索一样（可以看到我的上一篇博客图的广度优先遍历），下面我将会使用栈来实现深度优先搜索。

下面用一个例子来说明如何使用栈来实现深度优先遍历。假设有下面一个图。

首先，我们初始化一个空栈，然后将所有顶点入栈，此时所有顶点都没有被访问过，因此所有顶点都置为白色，如下所示。

上述初始化完成以后，顶点5位于栈底，顶点1位于栈顶，然后我们就进入循环操作，首先出栈一个顶点，该顶点为顶点1，因为顶点1是白色的，即没有被访问过，于是就将顶点1置为灰色，并重新入栈（因为下面要记录结点的子结点被访问完的次序），然后展开顶点1的所有顶点，只有顶点2，由于顶点2是白色即未被访问过，于是将顶点2入栈，如下图所示。

然后我们继续循环，出栈一个顶点，即顶点2，因为顶点2是白色的，于是将其置为灰色，并重新入栈，然后展开得到顶点4和顶点5，由于顶点4和顶点5均为白色，于是将它们都入栈。如下图所示。

然后还是继续循环，出栈一个顶点，即顶点5，由于顶点5是白色的，于是将其置为灰色，并重新入栈，然后展开顶点5，发现顶点5没有子结点，如下图所示。

然后继续循环，出栈顶点5，此时顶点5为灰色，说明顶点5的子结点已经被访问完了，于是将顶点5置为黑色，并将其次序标记为1，说明他是第一个被展开完的结点，这一个记录将会被应用到拓扑排序中。此时栈的状态如下所示。

继续循环，出栈顶点4，因为是白色的，所以将顶点4置为灰色并重新入栈，然后展开顶点4得到顶点5，因为顶点5是黑色的，于是不将其入栈。接下来继续出栈顶点4，发现顶点4是灰色的，于是和前面一样，将顶点4置为黑色并将其次序记录为2。此时的栈如下图所示。

好了，后面的循环的工作也跟上述类似，依次将顶点2、1出栈并置为黑色，直到顶点3展开发现没有白色的子结点，也将其置为黑色。然后再到了顶点4和顶点5，因为是黑色，直接出栈不作任何处理了。此时栈为空，遍历结束。

我们的程序需要的输入的图以邻接表的形式表示，下面给出图及顶点和邻接表的定义。

typedef enum VertexColor
{
	Vertex_WHITE = 0,	// 未被搜索到
	Vertex_BLACK = 1,	// 子结点都被搜索完毕
	Vertex_GRAY = 2	// 子结点正在被搜索
} VertexColor;

typedef struct GNode
{
	int number;	// 顶点编号
	struct GNode *next;
} GNode;

typedef struct Vertex
{
	int number;
	int f;			
	VertexColor color;	// 搜索过程标记搜索状态
	struct Vertex *p;
} Vertex;

typedef struct Graph
{
	GNode *LinkTable;
	Vertex *vertex;
	int VertexNum;
} Graph;

VertexColor是顶点的颜色枚举量定义。GNode是邻接表的元素定义，其记录了顶点的编号。邻接表本质上就是一个指针数组，其每个元素都是指向一个链表的第一个元素的指针。Vertex是顶点的数据结构，其属性number为顶点编号，f是记录其被访问完的次序，color是状态标识颜色，p指向搜索完成后得到的深度优先遍历树中的顶点的前驱。Graph是图的数据结构定义，其包含了一个顶点数组，按编号升序排列，LinkTable是邻接表。

下面给出用栈实现的深度优先搜索的程序。

/**
* 深度优先搜索，要求输入图g的结点编号从1开始
*/
void searchByDepthFirst(Graph *g)
{
	int VertexNum = g->VertexNum;
	Stack *stack = initStack();
	Vertex *vs = g->vertex;
	GNode *linkTable = g->LinkTable;
	int order = 0;

	for (int i = 0; i < VertexNum; i++)
	{
		Vertex *v = vs + i;
		v->color = Vertex_WHITE;
		v->p = NULL;
		push(&stack, v->number);
	}

	while (!isEmpty(stack))
	{
		int number = pop(&stack);
		Vertex *u = vs + number - 1;
		if (u->color == Vertex_WHITE) 
		{
			// 开始搜索该结点的子结点
			u->color = Vertex_GRAY;
			push(&stack, number);
		}
		else if (u->color == Vertex_GRAY)
		{
			// 该结点的子结点已经被搜索完了
			u->color = Vertex_BLACK;
			u->f = order++;
			continue;
		}
		else
		{
			continue;
		}
		GNode *links = linkTable + number - 1;
		links = links->next;
		while (links != NULL)
		{
			// 展开子结点并入栈
			Vertex *v = vs + links->number - 1;
			if (v->color == Vertex_WHITE)
			{
				v->p = u;
				push(&stack, links->number);
			}
			links = links->next;
		}
	}
}

程序先将所有顶点初始化为白色并入栈，然后开始循环。在循环中，每次出栈一个结点都要先对其颜色进行判断，如果是灰色，标记其被访问完成的次序并标为黑色，如果是黑色，不作任何处理，如果是白色，则置为灰色并重新入栈，然后展开其所有子结点并将白色的子结点入栈，并且记下这些白色顶点的前驱。当栈为空时，循环结束。

栈的操作可以参考其它资料，这里不做详述，下面给出一个简单实现。

typedef struct Stack {
	int value;
	struct Stack *pre;
} Stack;

上面是栈的结构定义。

Stack* initStack()
{
	Stack *s = (Stack *)malloc(sizeof(Stack));
	s->pre = NULL;
	return s;
}

void push(Stack **s, int value)
{
	Stack *n = (Stack *)malloc(sizeof(Stack));
	n->pre = *s;
	n->value = value;
	*s = n;
}

int pop(Stack **s)
{
	if ((*s)->pre == NULL)
	{
		return INT_MAX;
	}

	int value = (*s)->value;
	Stack *pre = (*s)->pre;
	free(*s);
	*s = pre;
	return value;
}

int isEmpty(Stack *s)
{
	if (s->pre == NULL)
	{
		return 1;
	}
	return 0;
}

void destroyStack(Stack **s)
{
	while (*s != NULL)
	{
		Stack *pre = (*s)->pre;
		free(*s);
		*s = pre;
	}
}

上面是栈的方法，依次是初始化一个空栈，入栈，出栈，判断是否为空栈，销毁栈。

下面给出一个应用上述深度优先遍历方法的例子代码和运行结果。

Graph graph;
	graph.VertexNum = 5;
	Vertex v[5];
	Vertex v1; v1.number = 1; v1.p = NULL; v[0] = v1;
	Vertex v2; v2.number = 2; v2.p = NULL; v[1] = v2;
	Vertex v3; v3.number = 3; v3.p = NULL; v[2] = v3;
	Vertex v4; v4.number = 4; v4.p = NULL; v[3] = v4;
	Vertex v5; v5.number = 5; v5.p = NULL; v[4] = v5;
	graph.vertex = v;

	GNode nodes[5];
	GNode n1; n1.number = 1;
	GNode n2; n2.number = 2;
	GNode n3; n3.number = 3;
	GNode n4; n4.number = 4;
	GNode n5; n5.number = 5;

	GNode y; y.number = 5; 
	GNode e; e.number = 2; 
	GNode f; f.number = 5; 
        GNode g; g.number = 2;
	GNode h; h.number = 4; 

	n1.next = &e; e.next = NULL;
	n2.next = &h; h.next = &f; f.next = NULL;
	n3.next = &g; g.next = NULL;
	n4.next = &y; y.next = NULL;
	n5.next = NULL;
	nodes[0] = n1;
	nodes[1] = n2;
	nodes[2] = n3;
	nodes[3] = n4;
	nodes[4] = n5;
	graph.LinkTable = nodes;

	searchByDepthFirst(&graph);
	printf("\\n");
	printPath(&graph, 2);

运行结果如下。

上述示例代码对本文前面给出的图进行深度优先遍历后，输出顶点2的前驱子树，得到上述结果，意思是顶点2的前驱顶点为3。

3. 图的拓扑排序

图的拓扑排序可以应用深度优先遍历来实现。

首先，说明一下什么是拓扑排序。拓扑排序是指将图按前后顺序组织排列起来，前后顺序是指在排序结果中，前面的顶点可能是有一条简单路径通向后面的顶点的，而后面的顶点是肯定没有一条简单路径通向前面的顶点的。拓扑排序适用于有向无环图。下面给出一个拓扑排序的例子。

还是这个图，这也是一个有向无环图，拓扑排序的结果最前面的顶点肯定是一个根顶点，即没有其它顶点指向他。这个图的拓扑排序结果是1、3、2、4、5，或者1、3、2、5、4，等等，不存在指向关系的顶点间的顺序是不确定的。我们可以将拓扑排序的图看成是一个日程表，顶点1代表洗脸，顶点3代表刷牙，顶点2代表吃早餐，顶点4代表穿裤子，顶点5代表穿衣服，于是拓扑排序本质就是根据事件应该发生的先后顺序组织起来。

图的深度优先遍历有一个特点，那就是，当一个顶点的子结点都被访问完了，该顶点才会结束访问，并开始向上回溯访问它的父结点的其它子结点。这意味着，一个顶点的结束访问时间与其子结点的结束访问时间存在先后关系，而这个顺序刚好与拓扑排序是相反的！简单地说，在深度优先遍历中，顶点A要结束访问的前提是其子结点B、C、D...都被访问完了，而在拓扑排序中，事件A完成之后其后面的事件B、C、D...才可以继续进行。这也就是上面的深度优先搜索为什么要记录结点被访问完成的次序，因为这个次序倒过来就是拓扑排序的顺序！

下面给出基于图的深度优先搜索实现的拓扑排序的程序。

/**
* 有向无环图的拓扑排序
*/
void topologySort(Graph *g, int **order, int *n)
{
	searchByDepthFirst(g);
	*n = g->VertexNum;
	*order = (int *)malloc(sizeof(int) * *n);
	for (int i = 0; i < *n; i++)
	{
		(*order)[*n - 1 - g->vertex[i].f] = i + 1;
	}
}

同样的，上述程序实现的拓扑排序要求的图的顶点编号也是从1开始。

其实拓扑排序还有另一种实现方法，那就是从根顶点开始，删除所有根顶点及与之相连的边。此时就会产生新的根顶点，然后继续重复上述操作，知道所有顶点都被删除。

4. 总结

本文介绍了如何使用栈来实现图的深度优先搜索，并基于图的深度优先搜索实现了拓扑排序。其时间复杂度均为O(n)。完整程序可以参考我的github项目数据结构与算法

这个项目里面有本博客介绍过的和没有介绍的以及将要介绍的《算法导论》中部分主要的数据结构和算法的C实现，有兴趣的可以fork或者star一下哦~ 由于本人还在研究《算法导论》，所以这个项目还会持续更新哦~ 大家一起好好学习~