51NOD 1434 区间LCM（素数筛）

Posted 2020-07-19 ITAK

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1434 区间LCM
题目来源： TopCoder
基准时间限制：1 秒 空间限制：131072 KB 分值: 40 难度：4级算法题 收藏 关注
一个整数序列S的LCM（最小公倍数）是指最小的正整数X使得它是序列S中所有元素的倍数，那么LCM(S)=X。
例如，LCM(2)=2,LCM(4,6)=12,LCM(1,2,3,4,5)=60。
现在给定一个整数N（1<=N<=1000000）,需要找到一个整数M，满足M>N，同时LCM(1,2,3,4,…,N-1,N) 整除 LCM(N+1,N+2,….,M-1,M)，即LCM(N+1,N+2,….,M-1,M)是LCM(1,2,3,4,…,N-1,N) 的倍数.求最小的M值。
Input
多组测试数据，第一行一个整数T，表示测试数据数量，1<=T<=5
每组测试数据有相同的结构构成：
每组数据一行一个整数N,1<=N<=1000000。
Output
每组数据一行输出，即M的最小值。
Input示例
3
1
2
3
Output示例
2
4
6
解题思路：

假设有质数K，可以求出t，使得K的t次方刚好小于等于m（K^t<=m）那么lcm(1,2,…,m)分解质因数中一定而且最多有t个质数K连乘，其实我们可以就是求的质数的最高次幂，这样就可以很快地吧lcm(1,2,…,m)分解质因数那么怎么把 lcm(n+1,n+2,…,m)分解质因数呢仍然假设质数K，可以求出最大的t，以及一个常数c（1<=c < K)，使得 n+1<=c*K^t<=m
那么lcm(n+1,n+2,…,m)分解质因数中一定而且最多有t个质数K连乘。比如说质数3，n=16,m=22,可以求的c=2,t=2，即17<=2*3^2=18<=22，这样lcm(17,18,19,20,21,22)中最多有2个质数3连乘既然知道怎么求lcm(n+1,n+2,..,m)和lcm(1,2,..,m)了来探讨一下怎么求最小的m吧我们想让这两个lcm分解质因数后完全一样，也就是说连乘的质数个数也完全相等。也就是说，对于每个质数K都可以满足，存在c和最大的t 使得n+1<=c*K^t<=m对于大于n小于m的质数，我们假设是P，那么一定n+1<=P<=m，一定可以满足条件所以我们就只看小于等于n的质数就可以了因为要使每个小于N的质数K，都存在c和最大的t 使得n+1<=c*K^t<=m，我们枚举每一个质数，并求得c和t，使得刚好c*K^t>=n，
答案就取最大的c*K^t，即 max( c*K^t )这样lcm(1,2,…,m)和lcm(n+1,n+2,…,m)的分解质因数后均至少有t个质数K。如果最终m有 k^(t+1)<=m，那么这个K^(t+1)>n一定成立，故仍满足条件
代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int MAXN = 1e6+5;
LL p[MAXN];
bool prime[MAXN];
int k;
void isprime()
{
    k = 0;
    memset(prime, 0, sizeof(prime));
    prime[0] = prime[1] = 1;
    for(LL i=2; i<MAXN; i++)
    {
        if(!prime[i])
        {
            p[k++] = i;
            for(LL j=i*i; j<MAXN; j+=i)
                prime[j] = 1;
        }
    }
}
int main()
{
    isprime();
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        int n;
        scanf("%d",&n);
        int ans = 2;
        for(int i=2; i<=n; i++)
        {
            if(!prime[i])///素数
            {
                int sum = i;
                while(sum <= n/i)
                    sum *= i;
                ans = max(ans, (n/sum+1)*sum);
            }
        }
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}