HDU 4635 Strongly connected（强连通分量缩点+数学思想）

Posted 2020-07-18 icode-xiaohu

　　题意：给出一个图，如果这个图一开始就不是强连通图，求出最多加多少条边使这个图还能保持非强连通图的性质。

　　思路：不难想到缩点转化为完全图，然后找把它变成非强连通图需要去掉多少条边，但是应该怎么处理呢……有人给出这样的答案，找到分量中点数最少的块，把它的所有入边都去掉……好像是对的，但是万一这个块本来就有一个入度怎么办？这个边是不可以删的啊。所以我觉得这种办法是有点的问题的，所以最靠谱的方法还是斌哥他们给出的方法，最后的时候把点分成两个集合x和y，x和y本身都是完全图块，然后让x中的每一个点都指向y中的每一个点，y中没有边指向x，假设x中有a个点，y中有b个点，a+b = n，容易得到ans = a*(a-1) + b*(b-1) - a*b - m,等价变形为ans = n*n - n - a*b - m,根据我们高中学过的不等式的性质，a×b在a=b的时候取得最大值，a与b相差的越多，a×b越小，所以我们可以让a更小，所以可以选择一个入度或者出度为0的分量作为x，选出点最少的块作为x，那么ans就是最大的。

　　感悟：感觉这个题很好的把图论和数学划分的思想结合到了一起。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<stack>
using namespace std;
#define maxn 100010
int dfn[maxn],low[maxn],id[maxn],sum[maxn],in[maxn],out[maxn];
int head[maxn],all,tot,scc,vis[maxn];
struct Edge
{
    int to,nxt;
}edge[maxn];
stack<int> st;
void init()
{
    memset(dfn,0,sizeof(dfn));
    memset(low,0,sizeof(low));
    memset(id,0,sizeof(id));
    memset(sum,0,sizeof(sum));
    all = 0;
    scc = 0;
    while(!st.empty()) st.pop();
    memset(in,0,sizeof(in));
    memset(out,0,sizeof(out));
}
void tarjan(int u)
{
    dfn[u] = low[u] = ++all;
    st.push(u);
    for(int i = head[u];i != -1;i = edge[i].nxt)
    {
        int v = edge[i].to;
        if(!dfn[v])
        {
            tarjan(v);
            low[u] = min(low[u],low[v]);
        }
        else if(!id[v]) low[u] = min(low[u],dfn[v]);
    }
    if(low[u] == dfn[u])
    {
        int num;
        scc++;
        while(!st.empty())
        {
            num = st.top();
            st.pop();
            id[num] = scc;
            sum[scc]++;
            if(num == u) break;
        }
    }
}
int main()
{
    int t,n,m,a,b,ca = 0 ;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        tot = 0;
        memset(head,-1,sizeof(head));
        for(int i = 0;i < m;i++)
        {
            scanf("%d%d",&a,&b);
            edge[i].to = b;
            edge[i].nxt = head[a];
            head[a] = i;
        }
        init();
        for(int i = 1;i <= n;i++)
        {
            if(!dfn[i])
                tarjan(i);
        }
        printf("Case %d: ",++ca);
        if(scc == 1)
        {
            puts("-1");
            continue;
        }
        for(int u = 1;u <= n;u++)
        {
            for(int i = head[u];i != -1;i = edge[i].nxt)
            {
                int v = edge[i].to;
                if(id[u] != id[v])
                {
                    in[id[v]]++;
                    out[id[u]]++;
                }
            }
        }
        long long tmpans = (long long)(n*n-n-m);
        long long ans = 0;
        for(int i = 1;i <= scc;i++)
        {
            if(in[i]==0 || out[i]==0)
                ans = max(ans,tmpans - sum[i]*(n-sum[i]));
        }
        printf("%I64d\n",ans);
    }
    return 0;
}