约瑟夫问题（Josephus）

Posted 2020-07-18

问题描述：已知n个人(以编号1，2，3...n分别表示)围成一圈。从编号为1的人开始报数，数到m的那个人出列;他的下一个人又从1开始报数，数到m的那个人又出列;依此规律重复下去，求最后那个人的编号(直到所有人全部出列，模拟该过程)？
解决：此问题可以用数组or链表实现，可以用数学方法进行简化（不用模拟过程时），也可以模拟该问题过程来求解。

数学分析：无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个游戏过程，不仅程序写起来比较烦，而且时间复杂度高达O(nm)，当n，m非常大(例如上百万，上千万)的时候，几乎是没有办法在短时间内出结果的。若原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号，而不是要模拟整个过程。因此如果要追求效率，就要打破常规，实施一点数学策略。

为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：
问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。

我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:
  k  k+1  k+2  ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2并且从k开始报0。
现在我们把他们的编号做一下转换：

k     --> 0
k+1   --> 1
k+2   --> 2
...
...
k-2   --> n-2
k-1   --> n-1
变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x‘=(x+k)%n

如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：

令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]

递推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i;  (i>1)

有了这个公式，我们要做的就是从1~n顺序算出f[i]的数值，最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1
由于是逐级递推，不需要保存每个f[i]，程序也是异常简单。

int Josephus(int m,int n){
    int result=0;
    for(int i=2;i<= n;i++)
        result=(result + m) % i;
    return result+1;
}

模拟过程代码:

int Josephus2(int m,int n){
    bool a[n+1]={0};//0代表在环中
    int f=0,cnt=0,itr=0;//itr用来遍历，cnt报数，f记录出局人数
    while(f<n){
        ++itr;
        if(itr > n) itr=1;//环
        if(!a[itr]) cnt++;//在环中，报数
        if(cnt == m){
            cout<<"out--"<<itr<<"\t";
            a[itr] = 1;//踢出去
            cnt = 0;
            f++;
        }
    }
    cout<<endl;
    return itr;
}