对组合数取模

Posted 2020-06-10

看这个之前建议先看一下n！……

对于组合数我们可以将其表示成阶乘的形式:C(n,k)= 。那我们不妨把这三个阶乘全部表示成上个专题的形式。这样的话，如果对于e1>e2+e3就可以被p整除，e1=e2+e3就无法被p整除。在无法被整除的情况下C(n,k)=a1(a2a3)^-1

 

1 int mod_comb (int n, int k, int p){
2     if (n<0||k<0||n<k) return 0;
3     int a1=mod_fact(n,p,e1),a2=mod_fact(k,p,e2),a3=mod_fact(n-k,p,e3);
4     if (e1>e2+e3)return 0;
5     return a1*mod_inverse(a2*a3%p, p) %p;
6 }

View Code

 

 

 

另外，我们也可以用Lucas来求。

Lucas定理：我们令n=sp+q , m=tp+r（q，r ≤p）则有

具体证明如下：

首先我们先来证明一个简单的算式：

C(p , f)%p= p!/(f!(p-f)！)%p因为p是素数，并且分母上的f和(p-f)都要比p要小，也就是说在分母上没有数可以把p约去，所以 %p一定等于0。同理，稍加扩展，我们可以得到C(n,f)%p=0(n>=p)。（其实同理后面的话对卢卡斯定理的证明并没有什么卵用）

证明完了这个算式，我们就可以开始证明卢卡斯定理。

对于(1+x)^sp+q≡(1+x)^sp×(1+x)^q≡((1+x)^p)^s×(1+x)^q≡(根据二项式定理展开，然后在有上面的公式，所以我们可以得到)(1+x^p)^s×(1+x)^q≡(再根据二项式定理展开)≡ (mod p)

最终我们可以得到

下面我们来计算一下左右两边x^tp+r的系数：

左边=C(sp+q ,tp+r)；右边=C(s ,t)×C(q, r)

因为左边=右边，所以我们最后得到了卢卡斯定理。

有了卢卡斯定理，我们就有了这样的代码，这个代码真的很好理解

1 int Lucas(int n,int m,int p){
2     long long ans=1;
3     while(n&&m&&ans){
4         ans*=comb(n%p,m%p,p)%p;//comb()求组合数
5         n/=p;m/=p;
6     }
7     return ans;
8 }

View Code