OKR-Periods of Words「POI 2006」

Posted 2020-11-30 zcr-blog

题目描述

串是有限个小写字符的序列，特别的，一个空序列也可以是一个串。一个串 P 是串 A 的前缀，当且仅当存在串 B，使得 A = PB。如果 P != A 并且 P 不是一个空串，那么我们说 P 是 A 的一个 proper 前缀。

定义 Q 是 AA 的周期，当且仅当 Q 是 A 的一个 proper 前缀并且 A 是 Q+Q 的前缀（不一定要是 proper 前缀）。比如串 abab 和 ababab 都是串 abababa 的周期。串 A 的最大周期就是它最长的一个周期或者是一个空串（当 A 没有周期的时候），比如说，ababab 的最大周期是 abab。串 abc 的最大周期是空串。

给出一个串，求出它所有前缀的最大周期长度之和。

输入格式

第一行一个整数 kk，表示串的长度。

接下来一行表示给出的串。

输出格式

输出一个整数表示它所有前缀的最大周期长度之和。

样例

样例输入

8
babababa

样例输出

24

数据范围与提示

对于全部数据，1 < k < 10^6

解释一下题意：

跑一遍样例，babababa的前缀对应的最大周期长度分别是是00224466

如果你还没有看懂就只好自己yy一下了。

拿bababa来说，它的最大周期是baba不能为自己也不能为空串。

那我们很容易发现一个奇妙的性质那就是一个串的最大周期长度=len-最小前缀==后缀（非空）长度。

证明；

设一个串为a1,a2,a3……am，它的最小非空前缀等于后缀的长度为n

则显然可以取a1~a(m-n)作为周期。因为a(m-n+1)~a(m)=a1~an(定义)，所以a1~am是a1~an+a1~an的前缀。

并且这个周期显然最大（n最小，m-n最大）。

这样这道题就很简单了，不过注意有可能会超时。这里要用dp的思想。dp[i]表示以i为结尾的前缀最小前缀==后缀长度，显然dp[i] = dp[nxt[i]](nxt[i]是最大前缀=后缀长度).

这样就珂做了。

#include <iostream>
using namespace std;
long long k, l;
long long f[1000100];
long long nxt[1000100], ans;
char s[1000100];
int main() {
    //freopen("test.in", "r", stdin);
    cin >> k;
    scanf("%s", s + 1);
    for (long long i = 2, j = 0; i <= k; i++) {
        while (j && s[j + 1] != s[i]) j = nxt[j];
        if (s[i] == s[j + 1]) j++;
        nxt[i] = j;
    }
    for (long long i = 2; i <= k; i++) {
        f[i] = f[nxt[i]];
        if (f[i] == 0 && nxt[i] != 0) {
            long long l = nxt[i];
            if (l == 0) continue;
            while (nxt[l]) {
                l = nxt[l];
            }
            f[i] = l;
        } else if (f[i] == 0) {
            continue;
        }
        ans += i - f[i];
    }
    cout << ans;
    return 0;
}