csp-s模拟106

Posted 2020-11-30 duan-yue

　　这场其实心态十分爆炸，首先一下午改上次破T3卡常一下午没过，心情十分暴躁。上来开题不顺利，T1想了一个小时没动。于是跳到T2，看T2的80pts貌似可拿就先打了。T3只会判10分，又想打个$2^{2N}$暴力看能不能骗点分。回头再看T1，恍然发现是个$N^3 dp$，打完了想对拍却不太会打暴力。又去检查T2。最后结果：A了T1，T2只有40分，T3爆零（数据分治判错了）。十分出乎意料的是T1、T2均30人左右AC，太强了吧。T2的部分分可能并没有数据。

T1：

　　把环拆成两倍的链，考虑$dp$，设$f[i][j]$表示到$i$处向前合并了长度为j的集合时的最优答案，最终目标$max{f[i][N]},N<i<=2N$，转移前需要预处理区间颜色数，做到$O(1)$转移，$f[i][j+k]=max {f[i][j]+f[i-j][k]+cnt[i-k-j+1][i-j]*cnt[i-j+1][i] }$（枚举合并两个集合的长度）。

T2：

40pts：

　　先考虑如果不下滑，一定是按$a$从大往小嗑药。有下滑，最后一步一定不用下滑，枚举最后一步的药，之前每一步按$a-b$从大往小选取，目标高度为L减去相应的$a$。$O(N^2)$。

100pts：

　　考虑如何快速计算出最后一步之前最少需要多少药才能到达目标高度。如果没有放水，那么排序之后直接前缀和+二分就可以。有了水位的限制，我们的答案要在被淹死之前。也就是要判断某一天是否已被淹死。同样记录放水的前缀和（就是每天的水位），用人的高度减水的高度，维护这个差值的前缀$min$，可以初步判断某一天是否被淹死。但是我们枚举了最后一步，而前缀$min$是静态的，就是说，在二分时判断第$m$天，若$m$比最后一步的顺序靠前，那么用前缀$min$就直接可以；若$i$在$m$前，那么在$i$之前的天照样前缀$min$不影响，而$i$之后的每一天实际上要减去上一天的水位（因为$i$为最后一步不能算），所以维护每一天的高度前缀和减去上一天的水位的$min$值。因为查询区间左端点不再只是$1$，所以$st$表维护。最终二分时加上判断这一天在淹死之前的条件。$O(N log N)$。

T3：

　　简单学了一下博弈论和SG函数，但这题的难点其实在于转化和建模。

10pts：

　　没有全翻正的情况，只需判断最后谁不能翻了，即$ (H+W)&1 $。

30pts:

　　需要判断出是否存在全翻正的方案。每行、每列只能翻一次，对于一个硬币，如果它是正，要么一次也不翻，要么翻行和列；如果是反，需要反行或列。对于这样的问题很想二分图，我们抽象成图：每行、每列各为一个点，如果有硬币$(x,y)$为正，向行点$x$、列点$y$连一条“边0”，否则连"边1”。这样做的意义是，颜色1表示翻，0表示不翻，要让最终硬币全翻正。最后染色，经过"边1"时将颜色$xor 1$，判断是否冲突。

100pts：

　　对于一个$ICG$，它的必胜局面为$SG！=0$，多个ICG和起来总的SG为每个子游戏的异或和。对于本题来说建图后每个联通块成为了一个子游戏，根据SG函数判断先手胜负。考虑每一个联通块，最后胜局落在谁手里和这个联通块需要多少次操作有关。设这个联通块内需要操作的点有$a$个，不需操作的有$b$个，$a$，$b$可以互换因为先手可以选择。一个联通图如果是$a$、$b$都是偶数，先手必败，$SG=0$；如果$a$、$b$都是奇数，后继局面$SG$都是$0$，所以本局面$SG=1$，先手必胜；如果$a$、$b$一奇一偶，后继局面$SG=1$或$SG=0$，本局面$SG=2$，先手必胜。最终根据子游戏异或和判断。