算法之带你了解时间&空间复杂度

Posted 2020-11-29

什么是算法？
算法（Algorithm）是指解题方案的准确而完整的描述，是一系列解决问题的清晰命令，算法代表着用系统的方法描述解决问题的策略机制。也就是说，能够对一定规范的输入，在有限时间内获得所要求的输出。如果一个算法有缺陷，或不适合于某个问题，执行这个算法将不会解决这个问题。不同的算法可能用不同的时间、空间或效率来完成同样的任务。一个算法的优劣可用空间复杂度与时间复杂度来衡量。

这两段代码都可以称之为算法，因为分别可以解决两个数相加和从1加到n的问题。算法并不一定要非常复杂，小到一行代码，多到上万行代码，只要能解决特定问题，就是算法。

如何评估算法优劣

使用不同算法，解决同一个问题，效率可能相差非常大

现有两个求斐波那契数 (fibonacci number) 的算法

（斐波那契数列：1 1 2 3 5 8 ……）
这里

public static int fib1(int n) {
    if (n <= 1) return n;
    return fib1(n - 1) + fib1(n - 2);
}

public static int fib2(int n) {
    if (n <= 1) return n;

    int first = 0;
    int second = 1;
    for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
        int sum = first + second;
        first = second;
        second = sum;
    }
    return second;
}

这两个算法哪个更优呢？

如果单从执行效率上进行评估，可能会想到这么一种方案

比较不同算法对同一组输入的执行处理时间

这种方案也叫做：事后统计法

我们的做法是：

public static void main(String[] args) {
    int n = 45;//求第45个斐波那契数

    TimeTool.check("fib1", new Task() {
        public void execute() {
            System.out.println(fib1(n));
        }
    });//5.815秒

    TimeTool.check("fib2", new Task() {
        public void execute() {
            System.out.println(fib2(n));
        }
    });//0.0秒
}

上述方案有比较明显的缺点

执行时间严重依赖硬件以及运行时各种不确定的环境因素

必须编写相应的测算代码

测试数据的选择比较难保证公正性 （n=100时可能第一种算法时间更短，n=200时可能第二种算法时间更短）

一般从以下维度来评估算法的优劣

正确性、可读性、健壮性（对不合理输入的反应能力和处理能力）

时间复杂度（time complexity）：估算程序指令的执行次数（执行时间）

空间复杂度（space complexity）：估算所需占用的存储空间

我们用这种方案评估一下计算1+2+...+n的算法

显然第二种算法更好。难道是因为第二种方法代码更短吗？斐波那契数列的例子已经告诉我们并不是代码越短越好。这个例子中第二个算法只需要三步运算就可以解决问题，而第一种需要循环n次。首先都满足正确性、可读性、健壮性的条件，然后从时间复杂度来讲，假定一步运算的执行时间的一定的，我们考察一下大致需要执行多少次指令，就可以比较出两种算法的时间长短；再从空间复杂度考虑，需要的变量越少、开辟的存储空间越小，算法更好。

大O表示法

一般用大O表示法来描述复杂度，它表示的是数据规模 n 对应的复杂度

方法步骤：

（1）估算时间复杂度/空间复杂度(主要是时间复杂度)

（2.1）忽略常数、系数、低阶

         $9$>> O(1) 

         $2n+6$ >> O(n)              

         $n^2+2n+6$ >> O($n^2$) 

         $4n^3+3n^2+22n+100$ >> O($n^3$) 

(2.2) 对数阶一般省略底数

         $log_2n=log_29+log_9n$ (任意底数的对数可通过乘以一个常数相互转化)

         所以 $log_2n$、$log_9n$ 统称为 $logn$

注意：大O表示法仅仅是一种粗略的分析模型，是一种估算，能帮助我们短时间内了解一个算法的执行效率

计算下面几段代码的时间复杂度

java
public static void test1(int n) {
//1（进行一次判断操作）
if (n > 10) {
System.out.println("n > 10");
} else if (n > 5) { // 2
System.out.println("n > 5");
} else {
System.out.println("n <= 5");
}
// 1（定义一次i) + 4(i累加四次) + 4（判断i<4四次) + 4（循环体一条语句执行四次）=9
for (int i = 0; i < 4; i++) {
System.out.println("test");
}
// 大O表示法时间复杂度O(1)
}

java
public static void test2(int n) {
// 1(定义一次i）+ 3n（i累加n次+判断i<n n次+循环体一条语句执行n次)=1+3n
for (int i = 0; i < n; i++) {
System.out.println("test");
}
// 大O表示法时间复杂度O(n)
}

java
public static void test3(int n) {
// 1(定义一次i） + 2n（i累加n次+判断i<n n次) + n(外层循环体语句执行n次) * (1(定义一次j） + 3n（j累加n次+判断j<n n次+内层循环体一条语句执行n次))=3n^2 + 3n + 1
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
System.out.println("test");
}
}
// 大O表示法时间复杂度O(n^2)
}

Java
public static void test4(int n) {
// 8 = 2^3
// 16 = 2^4

// 3 = log2(8)
// 4 = log2(16)

// 执行次数 = log2(n)
while ((n = n / 2) > 0) {
    System.out.println("test");
}
// 大O表示法时间复杂度O(logn)

}

java
public static void test5(int n) {
// log5(n)
while ((n = n / 5) > 0) {
System.out.println("test");
}
// 大O表示法时间复杂度O(logn)
}

java
public static void test7(int n) {
// 1(定义一次i） + 2log2(n)(i2运算次数) + log2(n)（外层循环执行次数） (1 + 3n)（内层循环执行次数）
for (int i = 1; i < n; i = i 2) {
// 1 + 3n
for (int j = 0; j < n; j++) {
System.out.println("test");
}
}
// 1 + 3log2(n) + 2 nlog2(n)
// 大O表示法时间复杂度O(nlogn)
}

$O(1)<O(logn)<O(n)<O(nlogn)<O(n^2)<O(n^3)<O(2n)<O(n!)<O(n^n)$

可以借助函数生成工具对比复杂度的大小

https://zh.numberempire.com/graphingcalculator.php

篇幅有限，在此不再过多讲解。总而言之，算法的目的你可以简单的理解为在有效的时间内用最快的方法来解答问题，这也是算法的魅力所在，吸引着无数coder为之努力。

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