贪心算法

Posted 2020-11-29 goldenellipsis

　　当面对一个复杂的问题，需要求得问题最优解的时候，贪心法可以高效率的解决问题；

　　贪心法不是从整体最优考虑，它仅仅是通过一系列在局部看来最好的选择，而得到问题整体的最优解；

　　贪心法并不是对所有的问题都能得到最优解，但对许多问题它确实能产生整体最优解，而对一些问题即使不能得到整体最优解，也能得到最优解的近似解；

　　许多经典的算法都是用贪心法设计的，如，哈夫曼算法、Prim算法、Kruskal算法和Dijkstra算法等均是典型的贪心算法，都是利用贪心选择策略得到了问题的最优解；

　　适用贪心算法解决问题应具有如下两个重要性质：
　　1、最优子结构性质，当问题的最优解包含其子问题的最优解时，称此问题具有最优子结构性质；
　　2、贪心选择性质，所谓贪心选择性质是指所求问题的整体最优解，可以通过一系列局部最优解的选择(贪心选择)来得到，即，每一步所作出的贪心选择最终可导致问题的整体最优解；

　　一、活动安排问题

　　设有n个活动的集合E = {E1,E2,...En},其中各活动需共享同一资源，每一活动Ei均有使用资源的时间要求，起始时间Si，结束时间Fi；若(Si,Fi)与(Sj,Fj)不相交，则活动Ei与Ej相容，资源的管理者只能选择彼此相容的活动进行安排；要求，在给定的活动中选择出最大相容活动子集合(活动个数最多)，进行资源分配。

　　采用贪心选择策略求解问题，对于给定的n个活动{E1,E2,...En}，贪心选择策略为：
　　1、首选结束时间最早的活动Ei，保留与Ei相容的活动，剔除与Ei不相容的活动(活动按结束时间Fi非递减排序)；
　　2、在剩余活动中选择结束时间最早的活动Ej，保留与Ej相容的活动，剔除与Ej不相容的活动(通过活动的结束时间找下一个活动的开始时间，再通过活动的开始时间找下一个活动的结束时间)；
　　重复步骤2，直至全部活动处理完毕。

void GreedySelector(int n,int s[],int f[],bool A[])
{   /* A中保存选择结果 */
    A[1] = true;
    int j = 1;
    for (int i=2; i<=n; ++i)
    {
        if(s[i] >= f[j])
        {
            A[i] = true;
            j = i;
        }
        else
        {
            A[i] = false;
        }
    }
}

　　二、背包问题

　　给定n种物品和一个背包，已知背包的容量(载重量)为C及各物品的重量wi、价值vi，现求解如何选择装入背包的物品，使得背包中物品的总价值最大。

　　例，给定3种物品和背包，已知背包的容量为10，物品的重量wi = {6,5,5}  (物品均可拆分) ，价值vi = {30,20,15}，现要求按背包问题求解，使得装入背包的物品总价值最大。　

　　背包问题可用贪心法求解：
　　1、求每件物品的单位重量价值：Vi/Wi；
　　2、按单位重量价值由高至低选装物品，直至装满包；

　　背包问题的解为{1,4/5,0}，物品价值46

　　物品不可拆分的，不能用贪心法求解