线段树

Posted 2020-11-28 dfkuaid-210

引入：

我们经常会遇到需要维护一个序列的问题，例如，给定一个整数序列，每次操作会修改某个位置或某个区间的值，或是询问你序列中的某个区间内所有数的和。或许你可能回去暴力出奇迹或者使用前缀和，但是当数据很大时，时间复杂度明显是受不了的。那么，就需要引入一种时间复杂度相对较小的数据结构 ——线段树

 

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目录

　　基础

　　　　├ 关于线段树

　　　　├ 建树

　　　　├ 区间查询

　　　　└ 单点修改

　　 进阶

　　　　├ 延迟标记

　　　　│ 　　└ 区间修改 单点查询

　　　　└ 区间修改 区间查询

　　          　　├ 标记下传

　　          　　└ 标记永久化

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基础篇

关于线段树

　　线段树是一课二叉树树上的每一个结点对应序列的一段区间，如下图：

       

　　不难发现，根节点对应的区间时[0,n-1]，而每个结点对应一个区间[l,r]，且当l=r时，该结点为叶结点，无左右儿子，否则令 mid = (l + r) / 2 ,则左儿子对应的区间为[l,mid]，右儿子为[mid+1,r]。同时，也不难发现，最后一行有n个结点，倒数第二行有n/2个结点，倒数第三行有n/4个结点，以此便可以推出一个线段树有n+n/2+n/4+...+1=2*n+1个结点，但是要注意，线段树数组务必要开4倍。设线段树的深度为h，那么h为O(logn)级别，当我们需要维护的序列长度为2的整数次幂时，这个线段数为满二叉树，否则最后一层可能不满

 

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建树

　　注：接下来的一系列操作都以求区间和为例

　　设序列a：5,3,7,9,6,4,1,2，我们将其用线段树构建出来，即

       

　　对应的区间和如图

　　

　　从图中可以看出除叶结点区间和为它本身外，其他节点的区间和均为其左右儿子区间和之和。以此，可以通过递归建树，并在递归后对其区间和进行维护

 1 void build(int k,int l,int r){   //k为结点编号，l为区间左端点，r为区间右端点 
 2     if (l == r){  //如果该点为叶结点 
 3         sum[k] = a[l];  //区间和即为本身 
 4         return;
 5     }
 6     int mid  = l + r >> 1; //取中间值，位运算优化常数 
 7     build(k << 1,l,mid); //构建左子树 
 8     build(k << 1 | 1,mid + 1,r); //构建右子树 
 9     sum[k] = sum[k << 1] + sum[k << 1 | 1]; //维护该区间区间和 
10 }

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区间查询

　　如果我们要查询区间和[0,6]，那么我们需访问3个区间

　　

 　　那么在查询过程中，会有以下三种情况  

　　　　├ 当前区间与需查询区间无交集，返回 0

　　　　├ 当前区间被需查询区间完全包含，返回该结点对应区间和

　　　　└ 当前区间与需查询区间有交集，但不被完全包含，递归其左右子树进行查询

1 int query(int k,int x,int y,int l,int r){ //k为结点编号，x为当前区间左端点，y为当前区间右端点，
2                                           //l为需查询区间左端点，r为需查询区间右端点 
3     if (x > r || y < l) return 0; //如果无交集，返回0 
4     if (x >= l && y <= r) return sum[k]; //如果完全包含，返回该结点区间和 
5     int res = 0,mid = x + y >> 1;
6     res = query(k << 1,x,mid,l,r); //递归左子树 
7     res += query(k << 1 | 1,mid + 1,y,l,r); //递归右子树 
8     return res;
9 }

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 单点修改

　　假设要将a₁加2，那么我们要重新计算4个结点的值

　　 

                                          ||

　　　　　　　　　　　          /  

　　  

　　那么，在修改时可以用递归的形式修改

　　在递归中，可能会有以下几种情况

　　　　├ 当前区间不包括需修改区间，直接返回

　　　　├ 找到需修改的叶结点，修改，返回

　　　　└ 有包含，但不是叶结点，递归修改左右子树

 1 void change(int k,int l,int r,int p,int v){
 2     if (l > p || r < p) return; //若该区间不包含需修改点，直接返回 
 3     if (l == r && l == p){ //若当前即为需修改结点 
 4         sum[l] += v; //修改 
 5         return;
 6     }
 7     int mid = l + r >> 1;
 8     change(k << 1,l,mid,p,v);//递归修改左子树 
 9     change(k << 1 | 1,mid + 1,r,p,v);//递归修改右子树 
10     sum[k] = sum[k << 1] + sum[k << 1 | 1];//维护区间和 
11 } 

 

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进阶篇

延迟标记

　　

 

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第一次发布时间：2019.11.28　　完成度：45%